1、1统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等2数据的数字特征(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数平均数：样本数据的算术平均数，即 x 1n(x1x2xn)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等(2)样本方差、标准差标准差 s1nx1 x 2x2 x 2xn x 2，其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量，x 是平均数标准差是刻画数据的离散程度的特征数
2、，样本方差是标准差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差3用样本估计总体(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于 1.(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较
3、好，它没有信息的缺失，而且可以随时记录，方便表示与比较【知识拓展】1频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率组距频率组距.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观2平均数、方差的公式推广(1)若数据 x1，x2，xn 的平均数为 x，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna 的平均数是 m x a.(2)数据 x1，x2，xn 的方差为 s2.数据 x1a，x2a，xna 的方差
4、也为 s2；数据 ax1，ax2，axn 的方差为 a2s2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论()(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数()(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的()1.(教材改编
5、)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A91.5 和 91.5B91.5 和 92C91 和 91.5D92 和 92答案 A解析 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96，中位数是9192291.5，平均数 x 8789909192939496891.5.2(2015陕西)某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A93B123C137D167答案 C解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为 11070%150(160%)137.故选 C.3
6、(2016宜宾模拟)若数据 x1，x2，x3，xn 的平均数为 x 5，方差 s22，则数据 3x11,3x21,3x31，3xn1 的平均数和方差分别为()A5,2B16,2C16,18D16,9答案 C解析 x1，x2，x3，xn 的平均数为 5，x1x2x3xnn5，3x13x23x33xnn135116，x1，x2，x3，xn 的方差为 2，3x11,3x21,3x31，3xn1 的方差是 32218.4(2016江苏)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_答案 0.1解析 x 4.74.85.15.45.555.1，则方差 s215(4.75.1)
7、2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.5为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有_株树木的底部周长小于 100 cm.答案 24解析 底部周长在80,90)的频率为 0.015100.15，底部周长在90,100)的频率为 0.025100.25，样本容量为 60，所以树木的底部周长小于 100 cm 的株数为(0.150.25)6024.题型一 频率分布直方图的绘制与应用例 1(2016北京)某市居民用水拟实行阶梯水价
8、，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替当 w3 时，估计该市居民该月的人均水费解(1)如图所示，用水量在0.5,3)的频率的和为(0.20.30.40.50.3)0.50.85.用水量小于等于 3 立方米的频率为 0.85，又 w 为整数，为使 80%以上的居民在该月
9、的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为 3.(2)当 w3 时，该市居民该月的人均水费估计为(0.110.151.50.220.252.50.153)40.15340.05(3.53)0.05(43)0.05(4.53)107.21.81.510.5(元)即该市居民该月的人均水费估计为 10.5 元思维升华(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为 1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据(2015课标全国)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根
10、据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表A 地区用户满意度评分的频率分布直方图图B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)在图中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均数及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意
11、估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由解(1)如图所示通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均数高于A 地区用户满意度评分的平均数；B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大记 CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；CB 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”由直方图得 P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6，P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大题型二 茎叶图的应
12、用例 2(1)(2015山东)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，将这5 天中 14 时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()ABCD(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为 15，乙组
13、数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为()A2,5B5,5C5,8D8,8答案(1)B(2)C解析(1)甲地 5 天的气温为 26,28,29,31,31，其平均数为 x 甲2628293131529；方差为 s2甲15(2629)2(2829)2(2929)2(3129)2(3129)23.6；标准差为 s 甲 3.6.乙地 5 天的气温为 28,29,30,31,32，其平均数为 x 乙2829303132530；方差为 s2乙15(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)22；标准差为 s 乙 2.x 甲 x 乙，s 甲s 乙(2)由茎叶图及已知得 x
14、5，又乙组数据的平均数为 16.8，即91510y1824516.8，解得 y8.引申探究1本例(2)中条件不变，试比较甲、乙两组哪组成绩较好？解 由原题可知 x5，则甲组平均数为912152427517.4.而乙组平均数为 16.8，所以甲组成绩较好2在本例(2)条件下：求乙组数据的中位数、众数；求乙组数据的方差解 由茎叶图知，乙组中五名学生的成绩为 9,15,18,18,24.故中位数为 18，众数为 18.s215(916.8)2(1516.8)2(1816.8)22(2416.8)223.76.思维升华 茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似它优
15、于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐(1)某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为 5 将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作的频率分布直方图是()(2)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为()A.1169B.367C36D.6 77答案(1)A(2)B
16、解析(1)由于频率分布直方图的组距为 5，排除 C、D，又0,5)，5,10)两组各一人，排除 B，应选 A.(2)由题意知879490919090 x91791，解得 x4.所以 s217(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)217(16910190)367.题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例 3(1)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_答案
17、 2解析 x 甲15(8791908993)90，x 乙15(8990918892)90，s2甲15(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24，s2乙15(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22.(2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图分别求出两人得分的平均数与方差；根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价解 由图像可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分；乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分x 甲1013121416513；x 乙131
18、4121214513，s2甲15(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24；s2乙15(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.由 s2甲s2乙，可知乙的成绩较稳定从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小(2016全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器
19、时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得以下柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数(1)若 n19，求 y 与 x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；(3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 2
20、0 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？解(1)当 x19 时，y3 800；当 x19 时，y3 800500(x19)500 x5 700.所以 y 与 x 的函数解析式为y3 800，x19，500 x5 700，x19(xN)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19.(3)若每台机器在购机的同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800
21、元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800704 300204 80010)4 000(元)，若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4 000 元，10 台的费用为 4 500 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000904 50010)4 050(元)比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件9高考中频率分布直方图的应用考点分析 频率分布直方图是高考考查的热
22、点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误典例(12 分)(2016四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居
23、民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图(1)求直方图中 a 的值；(2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数规范解答解(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在0,0.5)的频率为 0.080.50.04.同 理，在 0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5 等 组 的 频 率 分 别 为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.3 分由 1(0.040.080.210.250.
24、060.040.02)0.5a0.5a，解得 a0.30.5 分(2)由(1)知，100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.060.040.020.12.由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.1236 000.8分(3)设中位数为 x 吨因为前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.210.250.730.5.而前 4 组的频率之和为0040.080.150.210.480.5.所以 2x2.5.由 0.50(x2)0.50.48，解得 x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨12 分1(2017
25、铁岭月考)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是()A平均数B标准差C众数D中位数答案 B解析 由 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去 5，即与 A 样本不相同，标准差不变，故选 B.2(2016山东)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25
26、)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5小时的人数是()A56B60C120D140答案 D解析 设所求人数为 N，则 N2.5(0.160.080.04)200140，故选 D.3(2017北京西城区质检)下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间22,30)内的频率为()A.0.2B0.4C0.5D0.6答案 B解析 10 个数据落在区间22,30)内的数据有 22,22,27,29，共 4 个，因此，所求的频率为 4100.4.故选 B.4(2016西安模拟)某公司 10 位员工的月工资(单
27、位：元)为 x1，x2，x10，其平均数和方差分别为 x 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的平均数和方差分别为()A.x，s21002B.x 100，s21002C.x，s2D.x 100，s2答案 D解析 x1x2x1010 x，yixi100，所以 y1，y2，y10 的平均数为 x 100，方差不变，故选 D.5(2016山西大学附中诊断测试)已知样本(x1，x2，xn)的平均数为 x，样本(y1，y2，ym)的平均数为 y(x y)，若样本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均数 z a x(1a)y，其中 0a12，则 n，m 的
28、大小关系为()AnmCnmD不能确定答案 A解析 由题意可得 x x1x2xnn，y y1y2ymm，z x1x2xny1y2ymnmnnmx1x2xnn mnmy1y2ymmnnm x mnm y a x(1a)y，所以nnma，mnm1a，又 0a12，所以 0nnm12 mnm，故 nm.6(2016北京朝阳区期末)在一段时间内有 2 000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为 90 km/h120 km/h，试估计 2 000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有()A30
29、辆B300 辆C170 辆D1 700 辆答案 D解析 以正常速度通过该处的汽车频率为 1(0.010.005)100.85，所以以正常速度通过该处的汽车约有 0.852 0001 700(辆)7样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均数为 1，则样本方差为_答案 2解析 由题意可知样本的平均数为 1，所以a012351，解得 a1，所以样本的方差为15(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.8(2015湖北)某电子商务公司对 10 000 名网络购物者在 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直
30、方图如图所示(1)直方图中的 a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_答案(1)3(2)6 000解析 由频率分布直方图及频率和等于 1 可得 0.20.10.80.11.50.120.12.50.1a0.11，解得 a3.于是消费金额在区间0.5,0.9内的频率为 0.20.10.80.120.130.10.6，所以消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 0.610 0006000.9若样本数据 x1，x2，x10 的标准差为 8，则数据 2x11,2x21，2x101 的标准差为_答案 16解析 若 x1，x2，xn 的标准差为 s，则 ax1b
31、，ax2b，axnb 的标准差为 as.由题意s8，则上述标准差为 2816.10某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100则(1)图中的 x_；(2)若上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，则该校 600 名新生中估计有_名学生可以申请住宿答案(1)0.012 5(2)72解析(1)由频率分布直方图知 20 x120(0.0250.006 50.0030.003)，解得 x0.012 5.(2)上学时间不少
32、于 1 小时的学生的频率为 0.12，因此估计有 0.1260072(人)可以申请住宿11某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在50,60的频率及全班人数；(2)求分数在80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中80,90间的矩形的高解(1)分数在50,60的频率为 0.008100.08.由茎叶图知，分数在50,60之间的频数为 2，所以全班人数为 20.0825.(2)分数在80,90之间的频数为 25271024，频率分布直方图中80,90间的矩形的高为 425100.016.1
33、2某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价解(1)由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的是 75,75，故样本的中位数为 75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的是 66,68，故样本的中位数为6668267，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67.(2)由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 5500.1，8500.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大
