1、第2课时 一般形式的柯西不等式1定理 1.三维形式的柯西不等式:(a21a22a23)(b21b22b23)_,当且仅当_或_时,等号成立(a1b1a2b2a3b3)2bi0(i1,2,3)存在一个数k,使得aikbi(i1,2,3)2定理 2.一般形式的柯西不等式:设 a1,a2,an,b1,b2,bnR,则(a21a22a2n)(b21b22b2n)_,当且仅当_ 或 _时,等号成立(a1b1a2b2anbn)2bi0(i1,2,n)存在一个数k,使得aikbi(i1,2,n)1已知 x0,y0,z0 且1x2y3z1,则 xy2z3的最小值是()A5B6 C8D9【答案】D【解析】1x2
2、y3z1,xy2z3xy2z3 1x2y3zx1xy22yz33z2 (1 1 1)2 9.xy2z3 min9.2设 x0,y0,z0 且 x2y3z7,则4x2y3z的最小值是()A5B7 C9D11【答案】B【解析】x0,y0,z0 且 x2y3z7,(x2y3z)4x2y3z(x)2(2y)2(3z)24x22y23z2x4x 2y2y 3z3z2(223)249.74x2y3z 49,从而4x2y3z7,即4x2y3z min7.3已知x,y,zR且x2y3za(a为常数),则x2y2z2的最小值是_【答案】a214【解析】x2y3za,(122232)(x2y2z2)(x2y3z)
3、2a2.x2y2z2a214.(x2y2z2)mina214.4设 a,b,c 为正数且 a2b3c13,求 3a 2b c的最大值【答案】13 33【解 析】由(a 2b 3c)3212132a 3 2b1 3c 132(3a 2b c)2,得 3a 2b c13 33.(3a 2b c)max13 33.【例1】已知x,y,zR且2x3y6z12,求x2y2z2的最小值【解题探究】利用三维柯西不等式可解三维柯西不等式求最值【解析】由三维柯西不等式,得(x2y2z2)(223262)(2x3y6z)2122144,所以 x2y2z214449,当且仅当x2y3z6,2x3y6z12,即 x2
4、449,y3649,z7249时,等号成立所以 x2y2z2 的最小值为14449.本题由2x3y6z12以及x2y2z2的形式,通过构造(223262)作为一个因式,从而利用三维柯西不等式使问题得到解决1若2x3yz7,求x2y2z2的最小值【解析】(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2,x2y2z22x3yz21472.当且仅当x2y3z1时取得等号,即 x1,y32,z12时,x2y2z2 取到最小值为72.三维柯西不等式证明不等式【例 2】已知 x,y,z 均为正数且 xyz1,求证:1x4y9z36.【解题探究】注意到1x4y9z(xyz)1x4y9z,就可以应用柯西不等式
5、了【解析】由柯西不等式,得1x4y9z(xyz)1x4y9z x 1x y 2y z 3z236,当且仅当 x214y219z2,即 x16,y13,z12时,等号成立所以1x4y9z36.与二维柯西不等式的应用一样,巧用条件xyz1,构造与三维柯西不等式一致的形式解决问题2实数 a,b,c 满足 a2b24 c291.求证:abc 14.【证明】a2b24 c29a2b22c32,a2b22c32(12232)(abc)2,又 a2b24 c291,abc 14,当且仅当 ab4c9 1414 时取得等号不等式得证一般形式的柯西不等式【例 3】设 x1,x2,xn 均为正数且 x1x2xn1
6、.求证:x211x1 x221x2 x2n1xn 1n1.【解题探究】要证明不等式x211x1x221x2x2n1xn 1n1成立,可考虑先证明不等式:(n1)x211x1 x221x2 x2n1xn 1 成立,然后将 n1变形为(1x11x21xn),再利用柯西不等式,从而使问题得到解决【解析】因为 x1,x2,xn 均为正数且 x1x2xn1,所以由柯西不等式,得(n1)x211x1 x221x2 x2n1xn(1x11x21xn)x211x1 x221x2 x2n1xn1x1x11x1 1x2x21x21xnxn1xn2(x1x2xn)21.所以 x211x1 x221x2 x2n1xn
7、 1n1.应用柯西不等式解题时,首先应进行必要的变形或构造相应的式子,使条件符合柯西不等式的形式,然后解得3设 a1a2anan1.求证:1a1a21a2a31anan11an1a10.【证明】a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1),(a1a2)(a2a3)(anan1)1a1a21a2a31anan1 a1a21a1a2a2a31a2a3 anan11anan12n21.(a1an1)1a1a21a2a31anan1 1,即1a1a21a2a31anan11a1an1,故1a1a21a2a31anan11an1a10.1对一般形式的柯西不等式的理解:对于一般形式的柯西不等式,应该类比二维柯西不等式,通过几何意义来理解2不等式的应用:一般形式的柯西不等式有着广泛的应用,尤其是证明不等式和求最值方面在应用过程中,常常需要进行适当的变形、拼凑,得到与不等式一致的形式3在柯西不等式的应用中,常用到如下的三种变形,要注意变形适用的条件(1)a21a22a23 b21b22b23|a1b1a2b2a3b3|;(2)a21a22a2nb21b22b2n|a1b1a2b2anbn|;(3)(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1 a2b2 anbn)2(a1,a2,an,b1,b2,bnR)