1、第2课时 一般形式的柯西不等式1定理 1.三维形式的柯西不等式：(a21a22a23)(b21b22b23)_，当且仅当_或_时，等号成立(a1b1a2b2a3b3)2bi0(i1,2,3)存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3)2定理 2.一般形式的柯西不等式：设 a1，a2，an，b1，b2，bnR，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)_，当且仅当_ 或 _时，等号成立(a1b1a2b2anbn)2bi0(i1,2，n)存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)1已知 x0，y0，z0 且1x2y3z1，则 xy2z3的最小值是()A5B6 C8D9【答案】D【解析】1x2
2、y3z1，xy2z3xy2z3 1x2y3zx1xy22yz33z2 (1 1 1)2 9.xy2z3 min9.2设 x0，y0，z0 且 x2y3z7，则4x2y3z的最小值是()A5B7 C9D11【答案】B【解析】x0，y0，z0 且 x2y3z7，(x2y3z)4x2y3z(x)2(2y)2(3z)24x22y23z2x4x 2y2y 3z3z2(223)249.74x2y3z 49，从而4x2y3z7，即4x2y3z min7.3已知x，y，zR且x2y3za(a为常数)，则x2y2z2的最小值是_【答案】a214【解析】x2y3za，(122232)(x2y2z2)(x2y3z)
3、2a2.x2y2z2a214.(x2y2z2)mina214.4设 a，b，c 为正数且 a2b3c13，求 3a 2b c的最大值【答案】13 33【解 析】由(a 2b 3c)3212132a 3 2b1 3c 132(3a 2b c)2，得 3a 2b c13 33.(3a 2b c)max13 33.【例1】已知x，y，zR且2x3y6z12，求x2y2z2的最小值【解题探究】利用三维柯西不等式可解三维柯西不等式求最值【解析】由三维柯西不等式，得(x2y2z2)(223262)(2x3y6z)2122144，所以 x2y2z214449，当且仅当x2y3z6，2x3y6z12，即 x2
4、449，y3649，z7249时，等号成立所以 x2y2z2 的最小值为14449.本题由2x3y6z12以及x2y2z2的形式，通过构造(223262)作为一个因式，从而利用三维柯西不等式使问题得到解决1若2x3yz7，求x2y2z2的最小值【解析】(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，x2y2z22x3yz21472.当且仅当x2y3z1时取得等号，即 x1，y32，z12时，x2y2z2 取到最小值为72.三维柯西不等式证明不等式【例 2】已知 x，y，z 均为正数且 xyz1，求证：1x4y9z36.【解题探究】注意到1x4y9z(xyz)1x4y9z，就可以应用柯西不等式
5、了【解析】由柯西不等式，得1x4y9z(xyz)1x4y9z x 1x y 2y z 3z236，当且仅当 x214y219z2，即 x16，y13，z12时，等号成立所以1x4y9z36.与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件xyz1，构造与三维柯西不等式一致的形式解决问题2实数 a，b，c 满足 a2b24 c291.求证：abc 14.【证明】a2b24 c29a2b22c32，a2b22c32(12232)(abc)2，又 a2b24 c291，abc 14，当且仅当 ab4c9 1414 时取得等号不等式得证一般形式的柯西不等式【例 3】设 x1，x2，xn 均为正数且 x1x2xn1
6、.求证：x211x1 x221x2 x2n1xn 1n1.【解题探究】要证明不等式x211x1x221x2x2n1xn 1n1成立，可考虑先证明不等式：(n1)x211x1 x221x2 x2n1xn 1 成立，然后将 n1变形为(1x11x21xn)，再利用柯西不等式，从而使问题得到解决【解析】因为 x1，x2，xn 均为正数且 x1x2xn1，所以由柯西不等式，得(n1)x211x1 x221x2 x2n1xn(1x11x21xn)x211x1 x221x2 x2n1xn1x1x11x1 1x2x21x21xnxn1xn2(x1x2xn)21.所以 x211x1 x221x2 x2n1xn
7、 1n1.应用柯西不等式解题时，首先应进行必要的变形或构造相应的式子，使条件符合柯西不等式的形式，然后解得3设 a1a2anan1.求证：1a1a21a2a31anan11an1a10.【证明】a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)，(a1a2)(a2a3)(anan1)1a1a21a2a31anan1 a1a21a1a2a2a31a2a3 anan11anan12n21.(a1an1)1a1a21a2a31anan1 1，即1a1a21a2a31anan11a1an1，故1a1a21a2a31anan11an1a10.1对一般形式的柯西不等式的理解：对于一般形式的柯西不等式，应该类比二维柯西不等式，通过几何意义来理解2不等式的应用：一般形式的柯西不等式有着广泛的应用，尤其是证明不等式和求最值方面在应用过程中，常常需要进行适当的变形、拼凑，得到与不等式一致的形式3在柯西不等式的应用中，常用到如下的三种变形，要注意变形适用的条件(1)a21a22a23 b21b22b23|a1b1a2b2a3b3|；(2)a21a22a2nb21b22b2n|a1b1a2b2anbn|；(3)(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1 a2b2 anbn)2(a1，a2，an，b1，b2，bnR)