1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握两数乘向量的坐标运算法则(重点)2理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)3能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法(重点)4两直线平行与两向量共线的判定(易混点)1通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养 2通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养 情境导学探新知 NO.1 贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为505 km问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是
2、：贝贝：5055055055051 0105055051 5155052 020(km)晶晶：50542 020(km)可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给这类问题的解决带来了很大的方便 问题：(1)当ab时，a，b的坐标成比例吗？(2)a与a的坐标有什么关系？知识点 平面向量数乘运算的坐标表示 1数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a(x，y)，则a(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(x，y)2平面向量共线的坐标表示(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a，b 共线的充要条件是存在实数，使 ab(
3、2)如 果 用 坐 标 表 示，向 量 a，b(b0)共 线 的 充 要 条 件 是_ x1y2x2y10两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2y1y2吗？提示 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y20时，才能使用 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a与b共线，则x1x2y1y2()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y1，则a与b不共线()(3)若A，B，C三点共线，则向量AB，BC，CA 都是共线向量()答案(1)(2)(3)2 已知P(2,6)，Q(4,0)，则
4、PQ的中点坐标为_(1,3)根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(1,3)3已知a(3,2)，b(6，y)，且ab，则y_ 4 ab，3y260，解得y4 4若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y_ 9 AB(8,8)，AC(3，y6)，A，B，C三点共线，即ABAC，8(y6)830，解得y9 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 向量数乘的坐标运算【例1】(对接教材P31例6)(1)已知A(2,4)，B(1，5)，C(3，2)，则AC13BA()A(2，3)B(2，3)C(2,3)D(2,3)(2)已知向量a(3,2)，b(1,0)，c(2,1)则a2
5、b3c的坐标是_(1)A(2)(11，1)(1)因为A(2,4)，B(1，5)，C(3，2)，所以AC(1，6)，BA(3,9)，所以AC13BA(2，3)(2)因为a(3,2)，b(1,0)，c(2,1)，所以a2b3c(3,2)2(1,0)3(2,1)(11，1)向量数乘坐标运算的三个关注点(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题 跟进训练 1如图，已知|OA|OB|1，|OC|3，OC OB，AOC30，若OC xOA yOB，则xy()A1 B2 C
6、3 D4 C 建立如图所示的平面直角坐标系，根据条件不妨设A(1,0)，则B12，32，C32，32，则由OC xOA yOB 得 32，32 x(1,0)y12，32，所以x12y32，32 y 32，解得x2，y1，所以xy3 类型2 向量共线的坐标表示及应用 向量共线的判定与证明【例2】(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)(2)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量 AB 与 CD 平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)D A中，26340；B中33
7、220；C中114(2)70；D中(3)(4)260故选D(2)解 AB(1(1)，3(1)(2,4)，CD(21,75)(1,2)又22410，ABCD 又AC(2,6)，AB(2,4)，24260，A，B，C不共线，AB与CD不重合，ABCD 向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减 已知平面向量共线求参数【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一：(共线向量定理法)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k
8、2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以k310，2k24，解得k13 当k13时，kab与a3b平行，这时kab13ab13(a3b)，因为130，所以kab与a3b反向 法二：(坐标法)由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k13 这时kab133，232 13(a3b)，所以当k13时，kab与a3b平行，并且反向 利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行
9、的坐标表达式x1y2x2y10直接求解 跟进训练 2已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)，则_ 12 由题可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即12 3已知A(1，3)，B8，12，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线 证明 AB81，123 7，72，AC(91，13)(8,4)，747280，ABAC，且AB，AC有公共点A，A，B，C三点共线 类型3 共线向量与线段分点坐标的计算【例4】已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|AP|2|PB|，求点P的坐标 1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线
10、段P1P2的中点P的坐标？提示 如图所示，P为P1P2的中点，P1PPP2，OP OP1 OP2 OP，OP 12(OP1 OP2)x1x22，y1y22，线段P1P2的中点坐标是x1x22，y1y22 2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？提示 点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当P1P13P1P2 时，OP OP1 P1P OP1 13P1P2 OP1 13(OP2OP1)23OP1 13OP2 2x1x23，2y1y23；当P1P23P1P2 时，OP OP1 P1POP1 23P1P2 OP1 23(O
11、P2 OP1)13OP1 23OP2 x12x23，y12y23 3当P1P PP2(1)时，点P的坐标是什么？提示 OP OP1 P1P OP1 PP2 OP1(OP2 OP)OP1 OP2 OP，OP OP1 OP21 11(x1，y1)1(x2，y2)11x1，11y1 1x2，1y2 x1x21，y1y21，Px1x21，y1y21 解 设P点坐标为(x，y)，|AP|2|PB|当P在线段AB上时，AP2PB，(x3，y4)2(1x,2y)，x322x，y442y，解得x13，y0，P点坐标为13，0 当P在线段AB延长线上时，AP2PB，(x3，y4)2(1x,2y)，x322x，y
12、442y，解得x5，y8，P点坐标为(5,8)综上所述，点P的坐标为13，0 或(5,8)1若将本例条件“|AP|2|PB|”改为“AP 3PB”其他条件不变，求点P的坐标 解 因为AP3PB，所以(x3，y4)3(1x，2y)，所以x333x，y463y，解得x0，y12，所以点P的坐标为0，12 2若将本例条件改为“经过点P(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|AB|3|AP|”，求点A，B的坐标 解 由题设知，A，B，P三点共线，且|AB|3|AP|，设A(x,0)，B(0，y)，点P在A，B之间，则有AB3AP，(x，y)3(2x,3)，解得x3，y9，点A，B的坐标分别为(
13、3,0)，(0,9)点P不在A，B之间，则有AB3AP，同理，可求得点A，B的坐标分别为32，0，(0，9)综上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)或32，0，(0，9)求点的坐标时注意的问题(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)若点P是P1P2的中点时，则P点坐标为x1x22，y1y22(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论(3)若P1PP1P2(0)，01时，P在线段P1P2上；1时，P与P2重合；1时，点P在线段P1P2延长线上；0时，点P在线段P1P2反向延长线上 跟进训练 4如图所示
14、，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC 14OA，OD 12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标 解 因为OC 14OA 14(0,5)0，54，所以C0，54 因为OD 12OB 12(4,3)2，32，所以D2，32 设M(x，y)，则AM(x，y5)，AD 20，325 2，72 因为AM AD，所以72x2(y5)0，即7x4y20 又CM x，y54，CB4，74，因为CM CB，所以74x4y54 0，即7x16y20 联立解得x127，y2，故点M的坐标为127，2 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1已知MA(2,4)，MB(2,6)，则1
15、2AB等于()A(0,5)B(0,1)C(2,5)D(2,1)D 12AB12(MB MA)12(2,6)12(2,4)(2,1)1 2 3 4 5 2已知两点A(2，1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量a可以是()A(1，2)B(9,3)C(2,4)D(4，8)D 由题意，得 AB(1,2)，所以a AB(，2)(其中0)符合条件的只有D项，故选D 1 2 3 4 5 3与向量a(3,4)平行的单位向量是_ 35，45 或35，45 设与a平行的单位向量为e(x，y)，则x2y21，4x3y0，x35，y45或x35，y45.1 2 3 4 5 4已知平面向量a(1,2)，b(2
16、，m)，且ab，则2a3b等于_(4，8)ab，1m(2)20，m4，a(1,2)，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)1 2 3 4 5 5设OA(2，1)，OB(3,0)，OC(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是_ m|m6 A，B，C三点能构成三角形，AB，AC不共线 又AB(1,1)，AC(m2,4)，141(m2)0，解得m6 m的取值范围是m|m6 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)若a(x，y)，则a等于什么？(2)向量a(x1，y1)与b(x2，y2)共线的充要条件是什么？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
