1、13二项式定理13.1二项式定理学习目标1能用计数原理证明二项式定理2掌握二项式定理及其展开式的通项公式3会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识链接1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关2二项式(ab)n与(ba)n展开式中第r1项是否相同？答不同(ab)n展开式中第r1项为Canrbr，而(ba)n展开式中第r1项为Cbnrar.预习导引1二项式定理公式(ab)nCanCan1b
2、CankbkCbn(nN*)叫做二项式定理2二项式系数及通项(1)(ab)n展开式共有n1项，其中各项的系数C(k0，1，2，n)叫做二项式系数(2)(ab)n展开式的第k1项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.要点一二项式定理的正用、逆用例1(1)求(3)4的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)法一(3)4C(3)4C(3)3C(3)2()2C(3)()3C()481x2108x54.法二(3)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4
3、C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.规律方法运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数跟踪演练1(1)展开(2)6；(2)化简：12C4C2nC.解(1)(2)6(2x1)6C(2x)6C(2x)5C(2x)4C(2x)3C(2x)2C(2x)C64x3192x2240x160.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.要点二二项展开式通项的应用例2若()n展
4、开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中的所有有理项解(1)由已知可得CC2C，即n29n80，解得n8，或n1(舍去)Tk1C()8k()kC2kx4k，令4k1，得k4.所以x的一次项为T5C24xx.(2)令4kZ，且0k8，则k0，4，8，所以含x的有理项分别为T1x4，T5x，T9.规律方法利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等等其通常解法就是根据通项公式确定Tk1中k的值或取值范围以满足题设的条件跟踪演练2已知二项式(x2)10.(1)求展开式中
5、的第5项；(2)求展开式中的常数项解(1)(x2)10的展开式的第5项为T5C(x2)6()4C()4x12()4x10.(2)设第k1项为常数项，则Tk1C(x2)10k()kCx20k()k(k0，1，2，10)，令20k0，得k8，所以T9C()8，即第9项为常数项，其值为.要点三二项式定理的应用例3(1)用二项式定理证明：34n252n1能被14整除；(2)求9192除以100的余数(1)证明34n252n192n152n1(95)52n152n1(145)2n152n1142n1C142n5C142n152C1452nC52n152n114(142nC142n15C142n252C5
6、2n)上式是14的倍数，能被14整除，所以34n252n1能被14整除(2)解法一9192(1009)9210092C100919C1009092C100991992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数992(101)921092C1091C1090C102C10(1)921092C1091C1090C1029201(1092C1091C1090C1021 000)81，被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.法二由9192(901)92C9092C9091C902C901，可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被1
7、00整除，由于C9018 2818 20081，故9192除以100的余数为81.规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系跟踪演练3求证：51511能被7整除证明51511(492)511C4951C49502C49250C2511.易知除(C2511)以外各项都能被7整除又2511(23)171(71)171C717C716C7C17(C716C715C)，显然能被7整除，所以(51511)能被7整除.1若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab等于()A33 B29 C23 D19答案B解析(1)414128417
8、12ab，又a，b为有理数，a17，b12.ab29.2在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是()A5 B5 C10 D10答案D解析(1x)5中x3的系数C10，(1x)6中x3的系数为C(1)320，故(1x)5(1x)6的展开式中x3的系数为10.3求(2x)5的展开式解先化简再求展开式，得(2x)5C(4x3)5C(4x3)4(3)C(4x3)3(3)2C(4x3)2(3)3C(4x3)(3)4C(3)532x5120x2.1注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记Cankbk是展开式的第k1项，不要误认为是第k项3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体
9、要求，令其为特定值.一、基础达标1(x2)6的展开式中x3的系数是()A20 B40 C80 D160答案D解析法一设含x3的为第r1项，则Tr1Cx6r2r，令6r3，得r3，故展开式中x3的系数为C23160.法二根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x3的项按3与3分配即可，则展开式中x3的系数为C23160.2(2013江西理)(x2)5展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40答案C解析展开式的通项公式为Tk1C(x2)5k()kCx105k(2)k.由105k0，得k2，所以常数项为T21C(2)240.3(xy
10、)10的展开式中x6y4项的系数是()A840 B840 C210 D210答案A解析在通项公式Tr1C(y)rx10r中，令r4，即得(xy)10的展开式中x6y4项的系数为C()4840.4(2013辽宁理)使得(3x)n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7答案B解析展开式的通项公式为Tk1C(3x)nk()kC3nkxn.由n0得n，所以当k2时，n有最小值5.5求(3b2a)6的展开式中的第3项的系数为_，二项式系数为_答案4 860156(2013四川理)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)答案10解析设二项式(xy)5的
11、展开式的通项公式为Tr1，则Tr1Cx5ryr，令r3，则含x2y3的项的系数是C10.7已知在()n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为563，求展开式中的常数项解T5C()n424x816Cx，T3C()n222x44Cx.由题意知，解得n10.Tk1C()10k2kx2k2kCx，令0，解得k2，展开式中的常数项为C22180.二、能力提升8设S(x1)33(x1)23(x1)1，则S等于()A(x1)3B(x2)3Cx3D(x1)3答案C解析SC(x1)3C(x1)21C(x1)12C13(x1)13x3，故选C.9(2013新课标)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数
12、为5，则a等于()A4 B3 C2 D1答案D解析(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为CaC5，解得a1.10对于二项式(x3)n(nN*)，有以下四种判断：存在nN*，展开式中有常数项；对任意nN*，展开式中没有常数项；对任意nN*，展开式中没有x的一次项；存在nN*，展开式中有x的一次项其中正确的是_答案与解析二项式(x3)n的展开式的通项公式为Tk1Cx4kn，由通项公式可知，当n4k(kN*)和n4k1(kN*)时，展开式中分别存在常数项和一次项11()n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数解CC，n17，Tr1Cx2rx，1，r9，T10Cx429x3C29x
13、，其一次项系数为C29.12已知在(x2)n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数解已知二项展开式的通项Tk1C(x2)nk()k(1)k()nkCx2nk.(1)因为第9项为常数项，即当k8时，2nk0，解得n10.(2)令2nk5，得k(2n5)6，所以x5的系数为(1)6()4C.(3)要使2nk，即为整数，只需k为偶数，由于k0，1，2，3，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项三、探究与创新13已知f(x)(12x)m(14x)n(m，nN*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x
14、2项的系数最小值解(12x)m(14x)n展开式中含x的项为C2xC4x(2C4C)x，2C4C36，即m2n18，(12x)m(14x)n展开式中含x2的项的系数为tC22C422m22m8n28n，m2n18，m182n，t2(182n)22(182n)8n28n16n2148n61216(n2n)，当n时，t取最小值，但nN*，n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=0，1，2，N=x，若MN=0
15、，1，2，3，则x的值为（）A3B2C1D02如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A球B圆柱C圆台D圆锥3在区间0，5内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）ABCD4某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A2B3C4D55已知向量=（1，2），=（x，4），若，则实数x的值为（）A8B2C2D86某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A15，5，25B15，15，15C10，5，30D15，10，207如图，在正方体A
16、BCDA1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直8不等式（x+1）（x2）0的解集为（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x2或x1Dx|x2或x19已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5B（x2）2+（y1）2=10C（x2）2+（y1）2=5D（x+2）2+（y+1）2=1010如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且ACB=120，则A、B两点间的距离为（）A kmB kmC1.5kmD2km二、填空题：本
17、大题共5小题，每小题4分，满分20分11计算：log21+log24=12已知1，x，9成等比数列，则实数x=13已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是14已知a是函数f（x）=2log2x的零点，则a的值为15如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角AEFC（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为三、解答题：本大题共5小题，满分40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知，（1） 求tan；（2） 求的值17某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了1
18、00位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清 （1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18已知等比数列an的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列（1）求a1及an；（2）设bn=an+n，求数列bn的前5项和S519已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x2，2的最大值和最小值20已知圆C：x2+y2+2x3=0（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（
19、2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使CDE的面积最大2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=0，1，2，N=x，若MN=0，1，2，3，则x的值为（）A3B2C1D0【考点】并集及其运算【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可【解答】解：集合M=0，1，2，N=x，且MN=0，1，2，
20、3，x=3，故选：A2如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A球B圆柱C圆台D圆锥【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体为圆锥【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥故选D3在区间0，5内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5上取即可，利用区间长度的比求【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B4某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确
21、的答案【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=11+3=3，输出y的值为3故选：B5已知向量=（1，2），=（x，4），若，则实数x的值为（）A8B2C2D8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可【解答】解：，42x=0，得x=2，故选：B6某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A15，5，25B15，15，15C10，5，30D15，10，20【考点】分层抽样方法【分析】根据
22、分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论【解答】解：高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：451510=20故选：D7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】连接AC，则ACA1C1，ACBD，即可得出结论【解答】解：正方体的对面平行，直线BD与A1C1异面，连接AC，则ACA1C1，ACBD，直线BD与A1C1垂直，直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D8不等式（x
23、+1）（x2）0的解集为（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x2或x1Dx|x2或x1【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集【解答】解：不等式（x+1）（x2）0对应方程的两个实数根为1和2，所以该不等式的解集为x|1x2故选：A9已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5B（x2）2+（y1）2=10C（x2）2+（y1）2=5D（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径
24、为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可【解答】解：圆的直径为线段PQ，圆心坐标为（2，1）半径r=圆的方程为（x2）2+（y1）2=5故选：C10如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且ACB=120，则A、B两点间的距离为（）A kmB kmC1.5kmD2km【考点】解三角形的实际应用【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值【解答】解：根据余弦定理 AB2=a2+b22abcosC，AB=（km）故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分11计算：log21
25、+log24=2【考点】对数的运算性质【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【解答】解：log21+log24=0+log222=2故答案为：212已知1，x，9成等比数列，则实数x=3【考点】等比数列【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x【解答】解：1，x，9成等比数列，x2=9，解得x=3故答案为：313已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5【考点】简单线性规划【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可【解答】解：由已知，目标函数变形为y=x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2
26、=5；故答案为：514已知a是函数f（x）=2log2x的零点，则a的值为4【考点】函数的零点【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值【解答】解：a是函数f（x）=2log2x的零点，f（a）=2log2a=0，log2a=2，解得a=4故答案为：415如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角AEFC（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意，AE平面EFBC，AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论【解答】解：由题意，AE平面EFBC，
27、AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，AE=EF，AFE=45故答案为45三、解答题：本大题共5小题，满分40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知，（1） 求tan；（2） 求的值【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）由，结合同角平方关系可求cos，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tan的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2，然后把已知tan的值代入可求【解答】解：（1）sin2+cos2=1，cos2=又，cos=（2）=17某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得
28、到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清 （1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用
29、不少于8元的有：2=200，18已知等比数列an的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列（1）求a1及an；（2）设bn=an+n，求数列bn的前5项和S5【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bn=2n1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=
30、1，故an=a1qn1=2n1；（2）因为bn=2n1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+16）+（1+2+5）=+=31+15=4619已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x2，2的最大值和最小值【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可【解答】解：（1）；（2）f（x）=x22x+6=（x1）2+5，x2，2，开口向上，对称轴为：x=1，x=1时，f（x）的最小值为5，
31、x=2时，f（x）的最大值为1420已知圆C：x2+y2+2x3=0（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使CDE的面积最大【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解
32、法二：利用几何法得出CDCE时CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，当且仅当，即时，CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=1，故所求直线方程为xy+3=0或xy1=0解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以2，当且仅当CDCE时，CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=1，故所求直线方程为xy+3=0或xy1=02017年5月5日
