1、第2课时 用数学归纳法证明不等式1贝努利不等式：如果x是实数且x1，x0，n为大于1的自然数，则_2设为有理数，x1，如果01，则(1x)_1x；如果0或1，则(1x)_1x，当且仅当_时，等号成立(1x)n1nxx01用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证()An1Bn2Cn3Dn4【答案】C【解析】由题意知n3，应验证n3.2用数学归纳法证明 1n1 1n2 1n3 1nn1124(nN*)时，由 nk 到 nk1 时，不等式左边应添加的项是()A12k1 B12k112k2C12k112k2 1k1 D12k112k2 1k1 1k2【答案】C【解析】因为 nk1 时，不等
2、式左边为1k11 1k3 1kk1kk11kk2，所以应添加的项是12k112k2 1k1.3观察下列式子：1 12232，1 122 13253，1 122 13214274，则可归纳为_【答案】1 122 1321n122n1n1(nN*)【解析】1 12232，即 1111221111.1 122 13253，即 11112121222121.归纳为 1 122 1321n122n1n1(nN*)4若 n 为大于 1 的自然数，求证：1n1 1n2 12n1324.【解析】当 n2 时，121 122 7121324不等式成立假设当 nk(k2，kN*)时不等式成立，即 1k1 1k2
3、12k1324，则当 nk1 时，1k2 1k3 12k12k112k21k1 1k1132412k112k2 1k1132412k112k21324122k1k11324.nk1 时，不等式也成立由，知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立数学归纳法与不等式证明的基本方法【例 1】用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式113 115 112n1 2n12成立【解题探究】本题证明 nk1 命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用归纳假设后，证明不等式 k12k12k1 12成立【解析】方法一：当 n2 时，左边11343，右边 52，左边右边
4、，不等式成立假设当 nk(k2，kN*)时，不等式成立，即113 115 112k1 2k12，则当 nk1 时，113 115 112k1 112k112k12 2k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k14k28k32 2k12k3 2k12 2k1 2k112.nk1 时，不等式也成立由，知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立方法二：当 n2 时，左边11343，右边 52，左边右边，不等式成立假设当 nk(k2，kN*)时，命题成立，即 113115 112k1 2k12，那么当 nk1 时，113115 112k1 112k1 2k12112k1 k12k1，要证不
5、等式成立，只需证明 k12k1 2k112，只要证明 4k28k44k28k3，此式显然成立故当 nk1 时，不等式仍然成立由，知，对一切 n2(nN*)不等式均成立(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行适当变形，用上归纳假设后，通常进行合理放缩，以达到转化的目的有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面1由下列各式：112，112131,112131415161732，11213 1152，你能得出怎样的结论？并进行证明【证明】对所给各式进行观察比较，注意各不等式左边最后一项的分母特点：1
6、211,3221,7231,15241，猜想为 2n1，对应各式右端为n2.归纳得一般结论1121312n1n2(nN*)下面用数学归纳法证明当 n1 时，结论显然成立假设当 nk(k1，kN*)时，结论成立，即 1121312k1k2成立，则当 nk1 时，1121312k112k12k1212k11k2 12k12k1212k11k22k12k11k21212kk12.即当 nk1 时结论也成立由，可知对任意 nN*，结论都成立【例2】设x是实数且x1，x0，n大于1的自然数，则(1x)n1nx.【解题探究】用数学归纳法证明，注意适当的放缩用数学归纳法证明贝努利不等式【解析】当n2时，由x
7、0，知(1x)212xx212x，因此n2时不等式成立 假设nk(k2，kN*)时不等式成立，即(1x)k1kx.当nk1时，(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1xkxkx21xkx1(k1)x，即当nk1时结论也成立由，可知，对一切大于1的正整数n均成立2设 x 是实数且 x1，x0，证明：1 x1xn1 nx1x，对一切不小于 2 的正整数 n 都成立【证明】当 x0 时，0 x1x1，1 x1x0.当1x0 时，01x1，则x1x|x|，x1x0，x1xx01.当 x1，x0 时，有 x1x1 且 x1x0，即该不等式满足贝努利不等式根据贝努利不等式得，1 x1xn1 x1
8、xn1n x1x 1 nx1x.(贝努利不等式的证明见例 2)用数学归纳法解决数列问题【例 3】设数列xn：x1 316，xn3812x2n1，其中 n2，nN*，求证：(1)0 xn12；(2)xnxn1.【解题探究】这是一个与数列有关的不等式问题，证明过程中要注意用到递推关系式 xn3812x2n1.【解析】(1)当 n1 时，x1 316，0 x112成立假设当 nk(k1，kN*)时，不等式成立，即 0 xk12，则当 nk1 时，xk13812x2k38121412，而 xk1380，0 xk112.即当 nk1 时结论也成立由，知，对 nN*都有 0 xn12.(2)当 n1 时，
9、x23812x2138x1，不等式成立假设当 nk(k2，kN*)时，不等式成立，即 xkxk1，则当 nk1 时，xk1xk0，x2k1x2k.xk23812x2k13812x2kxk1，即当 nk1 时结论也成立由，知对 nN*都有 xnxn1.用数学归纳法证明与数列有关的不等式问题，要注意用到递推关系式 xn3812x2n1，通过正确的放缩来达到目的3已知正项数列an中，a11，an11 an1an(nN*)，用数学归纳法证明：anan1.【证明】当 n1 时，a232，a1a2，所以 n1 时，不等式成立假设 nk(k1，kN*)时，akak1 成立，则 nk1 时，ak 2ak 11ak11ak1ak 11ak11ak11 ak1ak ak1ak1ak11ak0，即 ak2ak10，所以 nk1 时，不等式也成立综上所述，不等式 anan1(nN*)成立1使用数学归纳法证明不等式，难点在于由nk时命题成立推出nk1时命题成立，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题中的其他条件和相关知识其中，比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地应用2放缩法是把不等式中的某些部分的值放大或缩小，达到证明的目的但要注意放大或缩小要适度
