1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务核 心 素 养 1了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(难点)2理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则(重点)3向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系(易混点)1通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养 2借助向量的线性运算，培养数学运算素养 情境导学探新知 NO.1 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2 问题：这三个力的方向分别如何？三者有何相
2、互关系？知识点1 平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相的向量，叫做把向量作正交分解 垂直(2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向的两个向量分别为 i，j，取i，j作为对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，一对实数 x，y，使得 axiyj，我们把有序数对 叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a 的坐标表示 相同单位基底有且只有(x，y)(3)向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作
3、OA a，设 OA xiyj，则向量OA 的坐标(x，y)就是的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标 终点A点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？提示 点的坐标与向量的坐标的区别与联系 区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 区别 意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系向量的坐标与其终点的坐标不一定相同当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐
4、标相同 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)相等向量的坐标相同()(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标()(3)一个坐标对应于唯一的一个向量()(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应()答案(1)(2)(3)(4)2如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，45，则向量a的坐标为_(2，2)由题意知 a2cos 45i2sin 45j 2i 2j(2，2)知识点2 平面向量加、减运算的坐标表示 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有：加法ab_ 减法ab_ 重要结论已
5、知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB_因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_坐标减去的坐标(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x2x1，y2y1)终点起点3设i(1,0)，j(0,1)，a3i4j，bij，则ab与ab的坐标分别为_(2,5)，(4,3)由已知a3i4j，bij，得ab(3i4j)(ij)2i5j，ab(3i4j)(ij)4i3j，又i(1,0)，j(0,1)，所以ab，ab的坐标分别是(2,5)，(4,3)4已知点A(1，2)，点B(4,0)，则向量AB_ 答案(3,2)合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 平面向量的坐标表示【
6、例1】(对接教材P29例3)如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，OA a，AB b四边形OABC为平行四边形(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA的坐标；(3)求点B的坐标 解(1)作AMx轴于点M，则OMOAcos 454 22 2 2，AMOAsin 454 22 2 2，A(2 2，2 2)，故a(2 2，2 2)AOC18010575，AOy45，COy30又OCAB3，C32，3 32，ABOC 32，3 32，即b32，3 32(2)BAAB32，3 32(3)OB OA AB(2 2，2 2)32，3 32 2 232，2 23 32 点
7、B的坐标为2 232，2 23 32 求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标 跟进训练 1如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，i，j作为基底，分别用i，j表示OA，OB，AB，并求出它们的坐标 解 由题图可知，OA 6i2j，OB 2i4j，AB4i2j，它们的坐标表示为OA(6,2)，OB(2,4)，AB(4,2)类型2 平面向量的坐标运算【例2】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量 A
8、C(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab的坐标(1)A 法一：设C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以 x4，y2，从而BC(4，2)(3,2)(7，4)故选A 法二：AB(3,2)(0,1)(3,1)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)故选A(2)解 ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进
9、行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行 跟进训练 2若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求ABBC，BCAC的坐标 解 法一：AB(2,10)，BC(8,4)，AC(10,14)，ABBC(2,10)(8,4)(10,14)，BCAC(8,4)(10,14)(2，10)法二：AB(2,10)，BC(8,4)，AC(10,14)，AB BC AC(10,14)，BC AC BA AB(2，10)类型3 平面向量坐标运算的应用【例3】已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且BCAD，则顶点D的坐标为()A2，72 B
10、2，12 C(4,5)D(1,3)C 设点D(m，n)，则由题意得(4,3)(m，n2)，解得m4，n5，即点D(4,5)，故选C 在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解.跟进训练 3已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为_(1,2)设C的坐标为(x，y)，则由已知得OC AB，所以(x，y)(1,2)当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba等于()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)答案 B 1 2 3 4 5 2设 i，j 是平面直角坐标系内分
11、别与 x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA 4i2j，OB 3i4j，则OA OB 的坐标是()A(1，2)B(7,6)C(5,0)D(11,8)1 2 3 4 5 B 因为OA(4,2)，OB(3,4)，所以OA OB(4,2)(3,4)(7,6)1 2 3 4 5 3已知A(2，3)，AB(3，2)，则点B的坐标为()A(5,5)B(5，5)C(1,1)D(1,1)B OB OA AB(2，3)(3，2)(5，5)1 2 3 4 5 4已知A(1，2)，B(2,3)，C(2,0)，D(x，y)，且AC2BD，则xy_ 1 2 3 4 5 112 因为AC(2,0)
12、(1，2)(1,2)，BD(x，y)(2,3)(x2，y3)，又2BD AC，即(2x4,2y6)(1,2)，所以2x41，2y62，解得x32，y4，所以xy112 1 2 3 4 5 5已知点B(1,0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b(3,4)，c(1,1)与a的关系为a3b2c，则向量a的起点坐标为_(8，10)a3b2c3(3,4)2(1,1)(7,10)，设a的起点为A(x，y)，则aAB(1x，y)，1 2 3 4 5 所以1x7，y10，所以x8，y10，所以A(8，10)即a的起点坐标为(8，10)回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)平面向量正交分解的概念是什么？(2)如何表示平面向量的坐标？(3)点的坐标与向量的坐标有什么区别？(4)如何求两个向量的和或差的坐标？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
