1、6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务核 心 素 养 1平面向量的数量积(重点)2投影向量的概念(难点)3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)1通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养 2通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养 情境导学探新知 NO.1 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为 问题：该大力士所做的功是多少？知识点1 向量的数量积 1两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA a，OB b，则
2、AOB(0)叫做向量a与b的夹角(2)特例：当0时，向量a，b 当时，向量a，b 当2时，向量a，b，记作ab 同向反向垂直2平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 3投影向量 设a，b是两个非零向量，AB a，CD b，过 AB 的起点A和终点B，分别作 CD 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 A1B1，这种变换为向量a向向量b投影，A1B1 叫做向量a在向量b上的 投影向量1(1)等边ABC中，向量AB，BC所成的角是60吗？(2)
3、向量夹角的范围与两直线所成的角的范围相同吗？(3)向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示(1)不是，向量AB，BC所成的角是120(2)向量的夹角和两直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和0，2 (3)两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若ab0，则a0或b0()(2)若a0，则0或a0()(3)若a2b2，则ab或ab()(4)若abac，则bc()答案(1)(2)(3)(4)2已知单位向量a，b，夹角为60，则ab()A12 B 32 C1 D12 A ab11cos 6012 3已知向量a，b满足|a|
4、1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A6B4 C3D2 C 由条件可知，cos ab|a|b|21412，又0，3 知识点2 向量数量积的性质及运算律 1向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos (2)ab0 ab(3)当a与b同向时，ab；当a与b反向时，ab 特别地，aa|a|2或|a|(4)|ab|a|b|2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc|a|b|a|b|aa2a(bc)(ab)c成立吗？提示(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所
5、以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立 4(多选题)下列命题正确的是()A0a0 B若a0，则对任一非零向量b都有ab0 C若ab0，则a与b中至少有一个为0 D若a与b是两个单位向量，则a2b2 AD A正确，因为0的长度为0，结合数量积的公式可知0a0B，C错误，当非零向量ab时，有ab0D正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b2 5已知单位向量a与b的夹角为3，若x ab与a垂直，则实数x的值为()A12 B12 C 32 D 32 B 由单位向量a与b的夹角为3，可得ab11cos 312，若xab与a
6、垂直，则(x ab)ax a2abx120，解得x12合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 平面向量的数量积运算【例1】(1)(对接教材P17例9)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)(2)如图，在ABCD中，|AB|4，|AD|3，DAB60，求：AD BC；ABDA 解(1)(a2b)(a3b)aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|2 62564cos 60642192(2)因为AD BC，且方向相同，所以AD 与BC的夹角是0，所以AD BC|AD|BC|cos 03319 因为AB与AD 的夹角为
7、60，所以AB与DA 的夹角为120，所以ABDA|AB|DA|cos 120 4312 6 求平面向量数量积的步骤是什么？提示(1)求a与b的夹角，0，(2)分别求|a|和|b|(3)求数量积，即ab|a|b|cos，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省略 跟进训练 1(1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，求：ab；(2ab)(a3b)(2)设正三角形ABC的边长为2，AB c，BC a，CA b，求abbcca 解(1)ab|a|b|cos 23cos 603(2ab)(a3b)2a25ab3b2 2|a|25ab3|b|2222533324
8、(2)|a|b|c|2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbcca 2 2cos 12033 类型2 与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|10，求|b|(1)2 3|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2 22222122244412，所以|a2b|122 3(2)解 因为|2ab|10，所以(2ab)210，所以4a24abb210 又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|22|b|210，整理得|b|22 2|b|6
9、0，解得|b|2或|b|3 2(舍去)求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等 跟进训练 2若向量a，b的夹角为120，|a|1，|a2b|7，则|b|()A12 B 72 C1 D2 C 设向量a，b的夹角为，因为|a2b|2|a|24|b|24|a|b|cos，又120，|a|1，|a2b|7，所以714|b|22|b|，解得|b|32(舍去
10、)或|b|1故选C 类型3 与向量垂直、夹角有关的问题【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角 1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示 abab0 2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos 两边取绝对值得：|ab|a|b|cos|a|b|当且仅当|cos|1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a
11、|b|，cos ab|a|b|(1)(0,1)(1，)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e22k0，k0当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1(2)解 由已知条件得 a3b7a5b0，a4b7a2b0，即7a216ab15b20，7a230ab8b20，得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos ab|a|b|12b2|b|212 0，3 1将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围 解 e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(
12、e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e22k0，k0 当k1时，e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去 综上，k的取值范围是k0且k1 2将本例(1)中的条件“锐角”改为“3”，求k的值 解 由已知得|e1ke2|e212ke1e2k2e22 1k2，|ke1e2|k2e212ke1e2e22 k21，(e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e22k，则cos3e1ke2ke1e2|e1ke2|ke1e2|2k1k2，即 2k1k212，整理得k24k10，解得k42 322 3 1求向量夹角的方法(1)求出ab，|a|，|b|，代
13、入公式cos ab|a|b|求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|，代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角 2要注意夹角的范围0，当cos 0时，0，2；当cos 0时，2，；当cos 0时，2 跟进训练 3若非零向量a，b满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A4 B2 C34 DA 因为(ab)(3a2b)，所以(ab)(3a2b)3a2ab2b20设向量 a 与 b 的夹角为，因为|a|2 23|b|，所以 32 23|b|22 23|b|2cos 2|b|20因为|b|0，所以832 23 cos 20，解得 cos 22 因为
14、0，所以 4，故选 A当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1在ABCD中，DAB30，则AD 与CD 的夹角为()A30 B60 C120 D150 D 如图，AD 与CD 的夹角为ABC150 1 2 3 4 5 2已知|a|3，|b|6，当ab时，ab()A18B18 C18D0 C 当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0，所以ab|a|b|cos 036118；若a与b反向，则它们的夹角为180，所以ab|a|b|cos 18036(1)18故选C 1 2 3 4 5 3已知平面向量a，b满足a(ab)3且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角为()A6B3 C23D56 C
15、因为a(ab)a2ab42cosa，b3，所以cosa，b12，又因为a，b0，所以a，b23 1 2 3 4 5 4已知向量a与b的夹角是 3，且|a|1，|b|2，若(3 ab)a，则实数_ 3 根据题意得ab|a|b|cos31，因为(3ab)a，所以(3ab)a 3a2ab 30，所以 3 1 2 3 4 5 5已知在ABC中，ABAC4，AB AC 8，则ABC的形状是_ 等边三角形 因为 AB AC|AB|AC|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC12，所以BAC60又ABAC，故ABC是等边三角形 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量夹角的概念是什么？向量夹角的范围是什么？向量的夹角与两直线的夹角有什么区别？(2)两个向量数量积的定义是什么？如何求两个向量的数量积？(3)向量的数量积有哪些性质和运算律？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
