1、压轴题命题区间(五)立体几何快速识别空间几何体的直观图与三视图典例(1)某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是()解析 由几何体的直观图，可知该几何体可以看作由正方体 ABCD-A1B1C1D1 割掉四个角后所得的几何体 ABCD-MNPQ，如图所示，该几何体的正视图就是其在正方体的面 CDD1C1 上的投影，显然为正方形 CDD1C1 与CDQ 的组合；该几何体的侧视图就是其在面 BCC1B1 上的投影，显然为正方形 BCC1B1 和BCP的组合综上，只有 A 选项正确答案 A(2)(2016山西质检)某几何体的三视图如图所示，当 xy 取得最大值时，该几何体的体积是
2、_解析 由题意知，该几何体为如图所示的四棱锥 P-ABCD，CDy2，ABy，AC5，CP 7，BPx，BP2BC2CP2，即 x225y27，x2y2322xy，则 xy16，当且仅当 xy4 时，等号成立此时该几何体的体积 V132423 73 7答案 3 7方法点拨由几何体的三视图确定几何体的形状的关键在于准确把握常见几何体的三视图，由三视图中的数据确定几何体中的相关数据的关键是准确把握画三视图的基本原则：“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”，这是我们实现三视图数据与几何体度量之间相互转化的主要依据对点演练如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为()A36 3(2)B36 3(2)C1
3、08 3 D108(32)解析：由三视图中的数据可得，该组合体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其中半圆锥的底面半径 r6，三棱锥的底面是一个底边长为 12，高为 6 的等腰三角形，两个锥体的高 h122626 3故半圆锥的体积 V11213626 336 3；三棱锥的底面积 S1212636，三棱锥的体积 V213Sh13366 372 3 故该几何体的体积 VV1V236 372 336 3(2)答案：B2(2017海口调研)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为()A 33B 17C 41D 42解 析：依 题 意，题中 的 几 何 体 是 四 棱锥E-ABB1A1，如图所示(
4、其中 ABCD-A1B1C1D1是棱长为 4 的正方体，C1E1)，EA 324242 41，EA1124242 33，EB32425，EB11242 17，ABBB1B1A1A1A4，因此该几何体的最长棱的棱长为 41，选 C答案：C 典例(1)某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为()A43B3C 32D与球相关的“接”、“切”问题解析 把该四面体 ABCD 放入正方体中，如图所示，此四面体的外接球即为正方体的外接球，由题意可知，正方体的棱长为 1，所以外接球的半径为 R 32，所以此四面体的外接球的体积为 V43323 32
5、故选 C答案 C(2)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_解析 过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC 及其内切圆O1 和外切圆O2，且两圆同圆心，即ABC 的内心与外心重合，易得ABC 为正三角形，由题意知O1 的半径为 r1，ABC 的边长为 2 3，于是知圆锥的底面半径为 3，高为 3故所求体积为 V13333答案 3(3)若正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为_解析如图，作 PM平面 ABC 于点 M，则球心 O 在 PM 上，PM6，连接 AM，AO，则 OPOAR，在 RtOAM 中，OM6R，OAR，又 AB6，且ABC 为等边三角形，
6、故AM2362322 3，则 R2(6R)2(2 3)2，解得 R4，所以球的表面积 S4R264答案 64方法点拨与球相关的“接”、“切”问题的解决方法方法解读适合题型截面法解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作球内切多面体或旋转体(如典例(2)构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接的性质球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径正棱锥、正棱柱的外接球(如典例(3)方法解读适合题型补形法因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补
7、形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等(如典例(1)对点演练1一个正六棱柱的所有顶点在同一个球面上，且这个正六棱柱的底面周长为6，体积为92，那么这个球的表面积为_解析：如图所示，正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 中，由正六边形 ABCDEF 的周长为 6，可得其边长为 1，正六棱柱的底面 ABCDEF 的面积为 61211 32 3 32，设正六棱柱的高为 h，由此可得其体积 V3 32 h92，解得 h 3，则 AD1 AD2DD21 22 32 7，即得正六棱柱的外接球
8、直径为 7，所以这个球的表面积为 47227答案：72已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，PAPD13，侧面PAD底面ABCD，在四棱锥内放一个球，要使球的体积最大，则球的半径为_解析：四棱锥 P-ABCD 内放一个球，要使球的体积最大，则球为四棱锥的内切球如图，分别取 AD，BC 的中点 M，N，连接 PM，PN，MN因为侧面 PAD底面 ABCD，且 PAPD 13，所以 PMAD，所以 PM底面 ABCD又 ADAB4，所以 MN4，PM 132223，根据题意球 O 与四棱锥各面相切，平面 PMN 即为四棱锥与内切球的轴截面，在 RtPMN 中，PN 32425，
9、设 E，F，G 为切点，球 O 的半径为 r，则 SPMN123412(345)r，所以 r1，即所求答案：1典例(2016石家庄一模)在平面四边形ACBD(图1)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC沿AB折起，构成如图2所示的三棱锥C-ABD，且使CD 2平面图形的翻折问题(1)求证：平面CAB平面DAB；(2)求二面角A-CD-B的余弦值解(1)证明：取 AB 的中点 O，连接 CO，DO，在 RtACB，RtADB 中，AB2，则 CODO1，CD 2，CO2DO2CD2，即 COOD，又 COAB，ABODO，AB，OD平面 AB
10、D，CO平面 ABD，CO平面 ABC，平面 CAB平面 DAB(2)以 O 为原点，AB，OC所在的直线分别为 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D32，12，0，AC(0,1,1)，BC(0，1,1)，CD 32，12，1 设平面 ACD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1 AC，n1CD，即n1 AC0，n1CD 0，即 y1z10，32 x112y1z10，令 z11，则 y11，x1 3，n1(3，1,1)设平面 BCD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，则 n2 BC，n2CD，即n2 BC0，n2
11、CD 0，即y2z20，32 x212y2z20，令 z21，则 y21，x2 33，n233，1，1，n1，n23 33 111131113111573 10535，由图知二面角 A-CD-B 的平面角为钝角，二面角 A-CD-B 的余弦值为 10535 方法点拨解决平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些、发生变化的量是哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形对点演练(2016浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD5，ADC90，沿
12、直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_解析：如图，作DFAC于点F，作BEAC于点E，作FM垂直于过点B且平行于AC的直线，垂足为M，则DBM是AC与BD所成的角(或其补角)在ADC中，DC1，AD 5，ADC90，AC 6，DF 56，CF 66 在BAC 中，BCBA3，BE32 622152 而 AE 62，EF 62 66 63 MFBE152，DMDF2FM22DFFMcosDFM56152 2 56152 cosDFM253 5cosDFMBMEF 63，BD DM2BM2 95cosDFMcosDBM BMBD6395cosDFM6395 66，当且仅当DFM 为 0时，等号成立直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是 66 升级增分训练点击此处答案：66
