1、31.3 空间向量基本定理学习目标1.理解空间向量基本定理2理解基底、基向量的概念，能正确选择合适基底表示空间向量 课堂互动讲练 知能优化训练 31.3课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1平面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么对平面内任一向量p，存在_的有序实数对(x，y)，使p_.2平面内的任意一个向量p都可以用_来表示(平面向量基本定理)惟一xayb两个不共线的向量a，b1空间向量基本定理：如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的_，使pxe1ye2ze3.2如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3_表示，我
2、们把e1，e2，e3称为空间的一个_，e1、e2、e3叫做_知新益能有序实数组(x，y，z)线性基底基向量3如果空间的一个基底的三个基向量是两两互相垂直的，那么这个基底叫做_4设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在_的有序实数组x，y，z，使得_.正交基底惟一OP xOA yOB zOC空间的基底是惟一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不惟一问题探究 课堂互动讲练 考点突破 基底的概念 构成空间一个基底的充要条件是三个向量不共面因此要证明三个向量不共面，通常用反证法(本题满分 14 分)已知e
3、1，e2，e3为空间一基底，且OP 2e1e23e3，OA e12e2e3，OB3e1e22e3，OC e1e2e3，能否以OA，OB，OC 作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP.例1【思路点拨】可先用反证法，判断OA，OB，OC是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底【规范解答】假设OA，OB，OC 共面，据向量共面的充要条件有：OA xOB yOC，2 分则有：e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.3xy1，xy2，2xy1.此方程组无解.6 分OA，OB，OC 不共面.8 分OA
4、，OB，OC 可作为空间的一个基底设OP m OA n OB z OC，有：2e1e23e3m(e12e2e3)n(3e1e22e3)z(e1e2e3)(m3nz)e1(2mnz)e2(m2nz)e3.m3nz2，2mnz1，m2nz3.12 分m17，n5，z30.OP 17 OA 5 OB 30 OC.14 分【名师点评】判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断自我挑战1 若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底解：假设 ab，bc，ca 共面，则存在实
5、数、使得 ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c 不共面1，1，0.此方程组无解ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底利用数形结合的思想方法，将需要表示的向量用与其相关联的其他向量表示，充分利用三角形法则或平行四边形法则，直至转化为只用基向量表示利用基底表示其他向量 已知矩形 ABCD，P为平面 ABCD外一点，且 PA平面 ABCD，M、N 分别为 PC、PD 上的点，且 M 分PC成定比 2，N 分PD 成定比 1，求满足MN xAB yAD zAP的实数 x、y、z 的值例2【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：四边形 ABCD为矩形PA
6、面 ABCD.M、N分别为PC、PD 的定比分点解答本题应结合图形，从向量MN 出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用AB、AD、AP表示出来，即可求出 x、y、z 的值【解】法一：如图所示，取 PC 的中点 E，连结 NE、AC，则MN EN EM.EN 12CD 12BA 12AB，EM PM PE23PC12PC16PC，又PC AC APAB AD AP，MN 12AB 16(AB AD AP)23AB 16AD 16AP，x23，y16，z16.法二：MN PN PM 12PD 23PC12(PAAD)23(PAAC)12AP12AD 23(APAB AD)23AB 1
7、6AD 16AP，x23，y16，z16.【名师点评】选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止这就是向量的分解空间向量分解定理表明，用空间三个不共面的向量组a，b，c可以表示出任意一个向量，而且a，b，c的系数是惟一的自我挑战 2 如图所示，M、N 分别是四面体 OABC的棱 OA、BC 的中点，P、Q 是 MN 的三等分点，用向量OA、OB、OC 表示OP 和OQ.解：
8、OP OM MP 12OA 23MN 12OA 23(ON OM)12OA 23(ON 12OA)16OA 2312(OB OC)16OA 13OB 13OC.OQ OM MQ 12OA 13MN12OA 13(ON OM)12OA 13(ON 12OA)13OA 1312(OB OC)13OA 16OB 16OC.1空间向量基本定理指明：(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；(2)基底中的三个向量e1、e2、e3都不是0；(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，一个基向量是指基底中的某个向量；(4)空间任一向量可用空间不共面的三个向量惟一线性表示方法感悟 2单位正交基底是基底的特例，它是建立空间直角坐标系的理论基础3空间的一个基底是由不共面的三个向量构成的，具体解题时，可取空间不共面的四点，将其中之一作为起点，与其他各点相连即可得到空间的一个基底知能优化训练
