1、29.4 切线长定理*九年级数学下册冀教版 第二十九章 直线与圆的位置关系 12CONTENTS 1想一想：同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？CONTENTS 2切线长及切线长定理 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.P切线长及切线长定理 OPAB连接OP，以OP为直径作圆，交O于A，B两点.连接PA，PBPA，PB是O的切线吗？猜想PA，PB具有怎样的数量关系？你能证明你的猜想吗？猜想：PA=PB证明：如图，连接OA，OB
2、，OP.在RtOAP和RtOBP中，PA，PB分别与O相切于点A，B，PAOA，PBOB，OAP=OBP=90.又OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP，PA=PB.切线长及切线长定理 已知，如图，P是O外一点，PA，PB分别与O相切于点A，B.求证：PA=PB.OPAB切线长及切线长定理 归纳：切线长：我们把线段PA，PB的长叫做点P到O的切线长 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.切线长及切线长定理 问题2 切线长与切线的区别在哪里？切线是直线，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量切线长及切线长定理 例1 已知：如图，过点P的
3、两条直线分别与O相切于点A，B，Q为劣弧AB上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，PB相交于点C，D.求证：PCD的周长等于2PA.OPABCDQ切线长及切线长定理 PA，PB，CD都是O的切线，PA=PB，CQ=CA，DQ=DB.PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA.证明：切线长及切线长定理 练一练：如图，PA，PB为O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：PA=PB；1=2；3=4；AB被OP垂直平分.其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个D切线长及切线长定理 归纳：切线长问题辅助线添加方
4、法：(1)分别连接圆心和切点；(2)连接两切点；(3)连接圆心和圆外一点.三角形的内切圆 问题1.1 从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？OOOO最大的圆与三角形三边都相切 问题1.2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？三角形的内切圆 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？三角形的内切圆 例2 用尺规作圆，使其与已知三角形的三边都相切.已知：如图，ABC求作：I，使它与ABC的三边都相切.ABCMNID
5、作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为I.2.过点I作IDBC.垂足为D.3.以I为圆心，ID为半径作圆I.三角形的内切圆 定义：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.三角形的内切圆 问题2 如图，分别过点I作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？BACIEFGIE=IF=IG三角形的内切圆 归纳：三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.三角形的内切圆 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂线
6、的交 点 1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部 ABOABCO三角形的内切圆 练一练：下列说法错误的是()A三角形的内切圆与三角形的三边都相切B一个三角形一定有唯一一个内切圆C一个圆一定有唯一一个外切三角形D等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 CCONTENTS 31.如图，PA，PB是O的切线，点A，B是切点，AC是O的直径，已知P=40，则ACB的大小是()A.40B.60C.70D.80C2.如图，一圆内切于四边形ABCD，切点分别为E，F，G，H，且A
7、B=16，CD=10，则四边形的周长为()A.50B.52C.54D.56B3.如图，四边形ABCD内接于O，点I是ABC的内心，AIC=124，点E在AD的延长线上，则CDE的度数为()A.56 B.62C.68D.78C4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？()A.3步B.5步C.6步D.8步C6.如图，已知O是边长为2的等边ABC的内切圆，则O的面积为_.5.如图，已知ABC的内切圆O与BC
8、边相切于点D，连接OB，OD.若ABC=40，则BOD的度数是_.703 7.如图，P是O外一点，PA，PB分别与O切于A，B两点，PA=4 cm,APB=40，C是AB上任意一点，过C作O的切线分别交PA，PB于点D，E.求：(1)PDE的周长；(2)DOE的度数.)=PA+PB解:(1)PA，PB分别切O于点A，B，PB=PA=4 cm.同理可得DA=DC，EC=EB.PDE的周长=PD+PE+DE，DE=DC+CE，PDE的周长=(PD+DA)+(PE+EB)=8 cm.(2)连接OC.DA，DC分别切O于点A，C，AOD=DOC.同理可得COE=BOE.DOE=AOD+COE，PA，PB分别切O于点A，B，DOE=AOB.21 DOE=AOB=70.21 PAOA，PBOB，PAO=PBO=90.四边形内角和为360，=360-PAO-PBO-APB=140，AOBCONTENTS 4切线长 切 线 长定理 作 用 图形的轴对称性 原 理 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念 内心概念及性质 应用
