1、考点测试35基本不等式一、基础小题1“a0且b0”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析a0且b0，但a0且b0，只能推出a0且b0.2函数f(x)x(x0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2B3C4D5答案C解析因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1.所以ab(ab)222 4，当且仅当ab2时取“”，故选C.14若实数a，b满足，则ab的最小值为()AB2C2D4答案C解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立因为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2，故选C.15若log4(3a4b)log2，则
2、ab的最小值是()A62B72C64D74答案D解析由log4(3a4b)log2，得3a4bab，且a0，b0，a，由a0，得b3.abbb(b3)72747，即ab的最小值为74.16要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设底面的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则Vxy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)8020280204160.(当且仅当xy时取等号)故该容器的最低总造价是160元17设a，b0，ab5，则的最大值为_答案3解析令t，
3、则t2()2a1b329a1b318，当且仅当a1b3时，即a，b时，等号成立即t的最大值为3.18定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_答案解析由xy，得xy(2y)x.因为x0，y0，所以，当且仅当xy时，等号成立三、模拟小题19在下列各函数中，最小值等于2的函数是()AyxBycosxCyDyex2答案D解析当x0时，yx2，故A错误；因为0x，所以0cosx2，故B错误；因为，所以y2中等号取不到，故C错误；因为ex0，所以yex22 22，当且仅当ex，即ex2时等号成立，故选D.20设正实数a，b满足ab1，则()A有最大值4B有最小值C有
4、最大值Da2b2有最小值答案C解析由于a0，b0，由基本不等式得1ab2，当且仅当ab时，等号成立，ab，4，因此的最小值为4，a2b2(ab)22ab12ab1，()2ab212112，所以有最大值，故选C.21若函数f(x)(ap，且p2，且p2，解得1pb1，且2logab3logba7，则a的最小值为_答案3解析令logabt，由ab1，得0t0，y0，且2，则当x取最小值时，x2_.答案12解析x0，y0，当x取最小值时，2取得最小值，2x2，2，x2，2216，x4，当且仅当，即x2y时取等号，当x取最小值时，x2y，x216，即x216，x216412.一、高考大题本考点在近三年
5、高考中未涉及此题型二、模拟大题1已知lg (3x)lg ylg (xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解由lg (3x)lg ylg (xy1)，得(1)x0，y0，3xyxy121.3xy210，即3()2210.(31)(1)0.1，xy1.当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x0，y0，xy13xy32.3(xy)24(xy)40.0.xy2.当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2.2某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算
6、，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1.所以y400k(k1)(x2x)400240x160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x240.故y与x的函数关系是y240x160(0x0，即30nn2810，n230n810，解得3n27(nN*)，从第4年开始获取纯利润(2)方案：年平均利润t30n3030212(当且仅当n，即n9时取等号)，年平均利润最大时，以46
7、万元出售该工作室共获利润12946154(万元)方案：纯利润总和y30nn281(n15)2144(nN*)，当n15时，纯利润总和最大，为144万元，纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润14410154(万元)，两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案.4为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气
8、的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)解(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4.当4x10时，由202x4，解得x8，所以此时4x8.综合得0x8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2a10xa(14x)a42a48a4.因为14x，而1a4，所以4，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4.令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为24161.6.
