1、计数原理与二项式定理*20122011201101220112121.1201.(2011120)12mnmnf xxxmnf xaa xa xaxaaaaf xxmnxN盐城一设,当时,记,求;若展开式中 的系数是,则当模、变化时,试求 系数的最小值。g 01220112011201112222222211121 11.22CC220202112 CC422122(202)(192)441190251085.mmmnxaaaamnnmm mn nxmmmmmmmnf xx 令,得因为,所以,则 的系数为,所以当,时,的展开式中 的系数最小,最小值为解析:32()12.(2011)2nxxn若
2、二项式的展开式中的常数项为第五项求 的值;求展开式中系数最无模锡一大的项g1332()()20()32410.(1)rn rrrnnTCxxxnrrxxrn 因为,的指数为,因为的展开式中的常数项为第五项,所以,解得解析:10101103101910101011110105537664102()()2.1,2110811311233215360.2rrrrrrnkkkkkkkkTCxCxCCkCCkkkkkkTCxx g因为,其系数为22设第项的系数最大,则22化简得:,即,所以,即第四项系数最大,3.从1,2,3,100中任取若干个不同数作加法(1)若所取数为2个,试问:不同的和共有多少个?
3、不同的加法式子有多少个?(2)若所取数不少于2个,则和为奇数的取法共有多少种?解析:(1)和中最小数为1+2=3,最大数为99+100=199,所有的和按从小到大的顺序构成3为首项,199为末项,1为公差的等差数列,因而不同的和共有197个因任意2个不同数必可写出2个不同的加法式子,故共有加法式子2100A=9900()个。(2)在 1 100 中,奇 数 有 50 个,偶 数 有 50个因和为奇数,故加数中奇数有奇数个,于是所有取法为:135490125050505050505050501049505050105095092-()()-2 2-50(50.102CCCCCCCCCCCC注:表
4、示取 个奇数与 个偶数得情形,所取数少于 个,故应剔除。)*21*1(13)(13)2(13)2()kknnknNN当时,求证:是正整数;试证明大于的最小整数整除:能被例1 212(13)n本题主要考查二项式定理的应用,第小题只要运用二项式定理直接展开即可得证;第小题的关键在于正确表示出大于的最小整数,再用二项式定理分析:加以证明 12212222441(13)1(3)(3)(13)1(3)1(3)(13)(13)21(3)(3)(13)(13)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCC ,因此,因为的偶数次幂均为正整数解析,所以是:正整数 222222222222120(13)1
5、1(13)(13)(1)(13)(13).(13)(13)(13)(13)2(2)(2)(23)(23)(13)(13)2nnnnnnnnnnnnnnnnnn因为,由知为正整数,所以大于的最小整数为由于,由二项式定理知是一偶数,所以能被整除故命题得证21*(103)().nnnnnCnNBC B设二项展开式的小数部分变式1为算.试计的值2102112221212222212121212102112221212(103)(10)(10)3 33(103)(10)(10)3nnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC,解析:222221211212121122213243212121212
6、121212133(103)(103)2(10)3(10)330(103)1(103)(103)(103).1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCBC B,以上两式相减,得,显然为正整数,因为 ,故,于是例2.(2010江苏丹阳高模)在一次运动会上,某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛(1)若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有2名队员身材相对矮小,也不宜同时上场;那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员,教练员有多少种组队方案?(2)如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为X,求随机变量X的数学期
7、望分析:本题主要检测计数应用题与数学期望的计算 312264524216455306453(CC)(CC)4(CC)C45()5(CC)C2()1444521441915,6()5630111,1.2111EXXH若上场队员有 名主力,则方案有;若上场队员有 名主力,则方案有种;若上场队员有 名主力,则方案有种 故教练员组队方案共有种因为,故解析:种 *1231234123(3)1132423nn nnNaaaaaaanaaaa一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为,等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花如图,圆环分成的 等份为,
8、有多少不同的种植方法?如图,圆环分成的 等份为,有多少不同的种植方法?如图,圆环分成的 等份为,有多少不同的种变式2.植方法?123231231133326()182432223()aaaaaaaaSSS 如图,先对 部分种植,有 种不同的种法,再对、种植,因为、与 不同颜色,、也不同,所以种 如图,解:种析 1231122311113323(3)22nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaS nnaaaa如图,圆环分为 等份,对 有 种不同的种法,后分别种植、,都有 种不同的种法,于是共有种种法但这样的种法,能保证 与不同颜色,也可保证、的任意相邻两部分不同颜色,但不能保证 与 不同颜色于
9、是,一类是 与 不同颜色的种法,这是符合要求的种法,记为种;另一类是 与 同色的种法,这时可以把 与 看成一部分,这样 111113 2212nnnnS nS nS nS nS n 的种法相当于对部分符合要求的种法,记为于是,故,3332(3)3212321(3)1362221(322.).121nnnnnnnnnS nnSS nSnSS nSnn 从而数列是首项为,公比为的等比数列所以,由知:,故于是,答:符合要求的不同种法有种1重视计数原理中一些常见方法的应用,例如“插空法”、“捆绑法”、“正难则反”等2熟练掌握二项式定理及组合数的性质,掌握“赋值法”在计算二项展开式系数中的应用3重视训练
10、计数原理与概率及其分布列等的综合题型 2201221112(10)cos22cos1()cos22cos1.sin 224cossinsin 22sin cos.1()1(2)11nnnnnnnnnnnnkxxxRxxxxxxxxxxCC xC xCxC xxRnnxkC 本小题满分分请先阅读:在等式的两边对求导由求导法则得,化简后得等式利用上述想法 或者其他方法,试由等式,证明:1120.23()10()10kknknknkknknkxnkCk C对于整数,求证:;分析:本题主要考查组合数、二项式定理、导数、积分等基础知识,考查推理论证能力与分析问题、解决问题的能力,考查创新能力 01221
11、1111211112121121.11.(3)1110(-1).(412)0()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkknknknnkkknkxCC xC xCxC xxnxCCxnCxnC xnxxkCckC x 在等式两边对 求导得移项得分在式中,令,整理得,所以解:分析 1121212232223221111213.1 123 21.(5)1023 211111010.()1()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkkknnkknknknxCC xnCxnCxnxn nxCC xn nC xxCCn nCk kCkk CkC 由知,两边对 求导,得分在上式中令,得,即,亦即又由知,211.(7)00nkknkkk C由得分本题开始部分是一段阅读材料,这并不是可有可无的,其实它提示了解决本题的思路:在问题的解答过程中可能需要“两重计算”,可能需要进行求导运算,也可能需要求导的逆运算求积分,所以这段阅读材料是揭示后面问题的解决策略的,利用这些策略实现破题并解题,为解题的目标多得分少失分提供可可能。