1、计数原理与二项式定理*20122011201101220112121.1201.(2011120)12mnmnf xxxmnf xaa xa xaxaaaaf xxmnxN盐城一设，当时，记，求；若展开式中 的系数是，则当模、变化时，试求 系数的最小值。g 01220112011201112222222211121 11.22CC220202112 CC422122(202)(192)441190251085.mmmnxaaaamnnmm mn nxmmmmmmmnf xx 令，得因为，所以，则 的系数为，所以当，时，的展开式中 的系数最小，最小值为解析：32()12.(2011)2nxxn若
2、二项式的展开式中的常数项为第五项求 的值；求展开式中系数最无模锡一大的项g1332()()20()32410.(1)rn rrrnnTCxxxnrrxxrn 因为，的指数为，因为的展开式中的常数项为第五项，所以，解得解析：10101103101910101011110105537664102()()2.1,2110811311233215360.2rrrrrrnkkkkkkkkTCxCxCCkCCkkkkkkTCxx g因为，其系数为22设第项的系数最大，则22化简得：，即，所以，即第四项系数最大，3.从1,2,3，100中任取若干个不同数作加法(1)若所取数为2个，试问：不同的和共有多少个?
3、不同的加法式子有多少个？(2)若所取数不少于2个，则和为奇数的取法共有多少种？解析：(1)和中最小数为1+2=3，最大数为99+100=199，所有的和按从小到大的顺序构成3为首项，199为末项，1为公差的等差数列，因而不同的和共有197个因任意2个不同数必可写出2个不同的加法式子，故共有加法式子2100A=9900()个。(2)在 1 100 中，奇 数 有 50 个，偶 数 有 50个因和为奇数，故加数中奇数有奇数个，于是所有取法为:135490125050505050505050501049505050105095092-()()-2 2-50(50.102CCCCCCCCCCCC注：表
4、示取 个奇数与 个偶数得情形，所取数少于 个，故应剔除。）*21*1(13)(13)2(13)2()kknnknNN当时，求证：是正整数；试证明大于的最小整数整除：能被例1 212(13)n本题主要考查二项式定理的应用，第小题只要运用二项式定理直接展开即可得证；第小题的关键在于正确表示出大于的最小整数，再用二项式定理分析：加以证明 12212222441(13)1(3)(3)(13)1(3)1(3)(13)(13)21(3)(3)(13)(13)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCC ，因此，因为的偶数次幂均为正整数解析，所以是：正整数 222222222222120(13)1
5、1(13)(13)(1)(13)(13).(13)(13)(13)(13)2(2)(2)(23)(23)(13)(13)2nnnnnnnnnnnnnnnnnn因为，由知为正整数，所以大于的最小整数为由于，由二项式定理知是一偶数，所以能被整除故命题得证21*(103)().nnnnnCnNBC B设二项展开式的小数部分变式1为算.试计的值2102112221212222212121212102112221212(103)(10)(10)3 33(103)(10)(10)3nnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC，解析：222221211212121122213243212121212
6、121212133(103)(103)2(10)3(10)330(103)1(103)(103)(103).1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCBC B，以上两式相减，得，显然为正整数，因为 ，故，于是例2.(2010江苏丹阳高模)在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛(1)若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？(2)如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期
7、望分析：本题主要检测计数应用题与数学期望的计算 312264524216455306453(CC)(CC)4(CC)C45()5(CC)C2()1444521441915,6()5630111,1.2111EXXH若上场队员有 名主力，则方案有；若上场队员有 名主力，则方案有种；若上场队员有 名主力，则方案有种 故教练员组队方案共有种因为，故解析：种 *1231234123(3)1132423nn nnNaaaaaaanaaaa一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为，等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花如图，圆环分成的 等份为，
8、有多少不同的种植方法？如图，圆环分成的 等份为，有多少不同的种植方法？如图，圆环分成的 等份为，有多少不同的种变式2.植方法？123231231133326()182432223()aaaaaaaaSSS 如图，先对 部分种植，有 种不同的种法，再对、种植，因为、与 不同颜色，、也不同，所以种 如图，解：种析 1231122311113323(3)22nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaS nnaaaa如图，圆环分为 等份，对 有 种不同的种法，后分别种植、，都有 种不同的种法，于是共有种种法但这样的种法，能保证 与不同颜色，也可保证、的任意相邻两部分不同颜色，但不能保证 与 不同颜色于
9、是，一类是 与 不同颜色的种法，这是符合要求的种法，记为种；另一类是 与 同色的种法，这时可以把 与 看成一部分，这样 111113 2212nnnnS nS nS nS nS n 的种法相当于对部分符合要求的种法，记为于是，故，3332(3)3212321(3)1362221(322.).121nnnnnnnnnS nnSS nSnSS nSnn 从而数列是首项为，公比为的等比数列所以，由知：，故于是，答：符合要求的不同种法有种1重视计数原理中一些常见方法的应用，例如“插空法”、“捆绑法”、“正难则反”等2熟练掌握二项式定理及组合数的性质，掌握“赋值法”在计算二项展开式系数中的应用3重视训练
10、计数原理与概率及其分布列等的综合题型 2201221112(10)cos22cos1()cos22cos1.sin 224cossinsin 22sin cos.1()1(2)11nnnnnnnnnnnnkxxxRxxxxxxxxxxCC xC xCxC xxRnnxkC 本小题满分分请先阅读：在等式的两边对求导由求导法则得，化简后得等式利用上述想法 或者其他方法，试由等式，证明：1120.23()10()10kknknknkknknkxnkCk C对于整数，求证：；分析：本题主要考查组合数、二项式定理、导数、积分等基础知识，考查推理论证能力与分析问题、解决问题的能力，考查创新能力 01221
11、1111211112121121.11.(3)1110(-1).(412)0()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkknknknnkkknkxCC xC xCxC xxnxCCxnCxnC xnxxkCckC x 在等式两边对 求导得移项得分在式中，令，整理得，所以解：分析 1121212232223221111213.1 123 21.(5)1023 211111010.()1()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkkknnkknknknxCC xnCxnCxnxn nxCC xn nC xxCCn nCk kCkk CkC 由知，两边对 求导，得分在上式中令，得，即，亦即又由知，211.(7)00nkknkkk C由得分本题开始部分是一段阅读材料，这并不是可有可无的，其实它提示了解决本题的思路：在问题的解答过程中可能需要“两重计算”，可能需要进行求导运算，也可能需要求导的逆运算求积分，所以这段阅读材料是揭示后面问题的解决策略的，利用这些策略实现破题并解题，为解题的目标多得分少失分提供可可能。