1、一 曲线的参数方程第三课时 参数方程和普通方程的互化考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握参数方程化为普通方程的方法.2.理解参数方程与普通方程互相转化的原理及其应用.重点：把参数方程化为普通方程.难点：掌握消参的方法及把普通方程化为参数方程.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理1曲线的普通方程和参数方程一般地，设曲线上的动点为 M(x，y)，则动点的坐标满足的方程 f(x，y)0 称为曲线的方程，方程xft，ygt(t 为参数)，称为曲线的方程2参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过_而从参数方程得到普
2、通方程普通参数消去参数(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么xftygt 就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的保持一致xf(t)yg(t)取值范围双基自测1将参数方程x2sin2，ysin2(为参数)化为普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3)Dyx2(0y1)解析：把 sin2y 代入 x2sin2 中得，x2y，即 yx2，其中 2x3，所以应选 C.答案：C2曲线的参数方程为x3t22，yt21(t 为参数)，则曲线是()A线段 B双曲线的一支C圆D射线解析：将 t2y1 代入
3、 x3t22 中，得 x3(1y)2，即 x3y50.yt211，曲线是一条射线答案：D3下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2y0 表示同一曲线的是()A.x|t|，ytB.xcos t，ycos2tC.xtan t，y1cos 2t1cos 2tD.xtan t，y1cos 2t1cos 2t解析：普通方程 x2y0 中的 xR，y0，A 中 x|t|0，B 中 xcos t1,1，故排除 A 和 B，C 中 y2cos2t2sin2t 1tan2t 1x2，即 x2y1，故排除 C.选 D.答案：D4将参数方程x12cos，y2sin(为参数)化为普通方程为_解析：由x12cos，y
4、2sin，两式平方相加，得(x1)2y24.答案：(x1)2y24探究一 普通方程化为参数方程 例 1 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1)x123y2251，x 3cos 1(为参数)；(2)x2yx10，xt1(t 为参数)解析(1)将 x 3cos 1 代入x123y2251，得 y2 5sin.所以x 3cos 1，y 5sin 2(为参数)，这就是所求的参数方程(2)将 xt1 代入 x2yx10，得yx2x1(t1)2t11t23t1.所以xt1，yt23t1(t 为参数)，这就是所求的参数方程求曲线的参数方程的方法(1)如果已知曲线的普通方程，根据所选参数可利用代入法
5、确定其参数方程(2)求动点的轨迹的参数方程时，应先根据题意选择适当的参数，利用已知条件求参数方程1把下面曲线的普通方程化为参数方程x y a，设 xacos2，为参数解析：把 xacos2 代入普通方程 x y a，得a|cos|y a，所以 y a(1|cos|)，所以 ya(1|cos|)2，所以普通方程x y a化为参数方程为xacos2，ya1|cos|2(为参数)探究二 把参数方程化为普通方程 例 2 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线(1)x13t，y4t(t 为参数)；(2)x14cos t，y24sin t(t 为参数，0t)；(3)x2sin2，y1cos 2(
6、为参数)解析(1)由已知得 t1x3，代入 y4t 中，得 4x3y40，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线(2)0t，3x5，2y2，(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16，(x1)2(y2)216(3x5，2y2)它表示的曲线是以(1，2)为圆心，半径为 4 的上半圆(3)由 y1cos 2 可得 y2sin2，将 sin2x2 代入 y2sin2 可得y2(x2)，即 2xy40.又2x2sin23，2y1cos 20，所求的普通方程是 2xy40(2x3)，它表示一条线段参数方程化为普通方程需注意的事项(1)参数方程化为普通方程后，x，y 的取值范围要保持绝对一致，
7、否则就不等价，如本例(2)中3x5 与 y2 在普通方程中已经隐含着，可以不作标注，但是普通方程中没有隐含2y，因此这一条标注是必不可少的(2)参数方程与普通方程是否等价，还可以研究图形而得出本例(2)中的参数方程表示的图形是直线 y2 上方的半圆，因此求出的普通方程(x1)2(y2)216，必须要标注 y2.2将下列参数方程化为普通方程，并说明它们表示什么曲线(1)x4t2，yt1(t 为参数)；(2)x2cos，y2sin(为参数，0)解析：(1)由 yt1，得 ty1，将它代入方程 x4t2，得 x4(y1)2，即普通方程为(y1)214x.方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于
8、 x 轴，开口向左的抛物线(2)将x2cos，y2sin 两式平方相加，得 x2y24.0，2x2,0y2.普通方程为 x2y24(0y2)，曲线表示圆心为 O(0,0)，半径为 2 的上半圆参数方程化普通方程的应用 典例(本题满分 12 分)已知曲线 C1：x4cos t，y3sin t(t 为参数)，C2：x8cos，y3sin(为参数)(1)化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1 上的点 P 对应的参数 t2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：x32t，y2t(t 为参数)距离的最小值及此时 Q 点坐标解析(1)由 C1：x4c
9、os t，y3sin t(t 为参数)，则cos tx4，sin ty3，由 sin2tcos2t1 得(x4)2(y3)21，即为曲线 C1的普通方程C1表示的是圆心为(4,3)，半径为 1 的圆.2 分由 C2：x8cos，y3sin(为参数)，则 cos x8，sin y3，由 cos2sin21 得x264y291，即为曲线 C2 的普通方程C2 表示的是中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3 的椭圆.5 分(2)当 t2时，P(4,4)，Q(8cos，3sin)，故 M24cos，232sin ，6 分C3 为直线 x2y70.7 分则点 M 到直线 C3
10、的距离 d 55|4cos 3sin 13|55|5cos()13|，9 分从而当 cos 45，sin 35时，d 取得最小值8 55.11 分此时，Q 点的坐标为325，95.12 分规律探究(1)强化规范答题意识，在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量 x，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题(2)强化方程之间的互化意识，在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想随堂训练1与普
11、通方程 x2y10 等价的参数方程为(t 为参数)()A.xsin t，ycos2t B.xtan t，y1tan2tC.x 1t，ytD.xcos t，ysin2t解析：所谓与方程 x2y10 等价，是指若把参数方程化为普通方程，形式一致，且 x，y 的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证方程 x2y10，xR，y(，1，显然与之等价的参数方程是 B.答案：B2方程x2t2t，y2t2t(t 为参数)表示的曲线是()A双曲线B双曲线的上支C双曲线的下支D圆解析：把方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型注意到 2t 与2t 互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，
12、即可消去含 t 的项：x2y2(2t2t)2(2t2t)24，即 y2x24.又注意到 2t0,2t2t2 2t2t2，即 y2.可见与参数方程等价的普通方程为 y2x24(y2)，显然它表示焦点在 y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选 B.答案：B3与参数方程x t，y2 1t(t 为参数)等价的普通方程为()Ax2y241Bx2y241(0 x1)Cx2y241(0y2)Dx2y241(0 x1,0y2)解析：因为x2t，y241t，将代入化简得，x2y241，由 t0,01t1，得 0 x1,0y2.答案：D4已知 F 是曲线x2 2cos，y1cos 2(R)的焦点，A(1,0)，则|AF|的值等于_解析：曲线的参数方程x2 2cos，y1cos 2，即x2 2cos，y2cos2，曲线的普通方程为 x24y.焦点 F(0,1)，由于 A(1,0)，则|AF|2.答案：2课时作业
