1、三简单曲线的极坐标方程1了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法2会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程(重点、易错点)3能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题(难点)基础初探教材整理1曲线与方程阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)0表示曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解；(2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上教材整理2极坐标方程阅读教材P12P13“例1”以上部分，完成下列问题一般地，在极坐
2、标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程下列点不在曲线cos 上的是()A.B.C. D.【解析】点的极坐标满足，且cos cos.【答案】D教材整理3常见的极坐标方程阅读教材P13P15，完成下列问题曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线或过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a(0)极坐标方程cos所表示的曲线是()A双曲线B椭
3、圆C抛物线D圆【解析】coscossin ，2cos sin ，x2y2xy，这个方程表示一个圆【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型直线或射线的极坐标方程求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程【思路探究】画出草图设点M(，)是直线上的任意一点建立关于，的方程检验【自主解答】法一设M(，)为直线上除点A以外的任意一点则xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，故sin，即，化简得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为
4、(cos sin )1，其中，0，0和2，0.法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.直线的斜率ktan1，过点A(1,0)的直线方程为yx1.将ysin ，xcos 代入上式，得sin cos 1，(cos sin )1，其中，0，0和2，0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程再练一题1若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？【解】由题意，设M(，)为射
5、线上任意一点，根据例题可知，sin，化简得(cos sin )1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为(cos sin )1.极坐标方程与直角坐标方程的互化若曲线C的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线sin0与曲线C相交于A、B，求|AB|. 【导学号：91060006】【思路探究】利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解【自主解答】(1)因为所以2x2y2，由2sin 4cos ，得22sin 4cos x2y24x2y0，即
6、(x2)2(y1)25.(2)由sin0，得0，即sin cos 0，xy0.由于圆(x2)2(y1)25的半径为r，圆心(2,1)到直线xy0的距离为d，|AB|23.1直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验2对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用再练一题2在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_【解析】极坐标系中点对应
7、的直角坐标为(，1)极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2，故所求距离为1.【答案】1极坐标方程的应用从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值【思路探究】(1)建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化(2)根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值【自主解答】(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即y2，知P的轨迹是以为圆心，
8、半径为的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形(图略)易得|RP|的最小值为1.1用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同2解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些再练一题3(2016唐山期末)已知圆C：x2y24，直线l：xy2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程【解】(1)将xcos ，ysin 分别代入
9、圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：2，l：(cos sin )2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|OQ|OP|OR|2得1.又22，1，所以4，故点Q轨迹的极坐标方程为2(cos sin )(0)探究共研型圆的极坐标方程探究如何求圆心为C(1，1)，半径为r的圆的极坐标方程？ 【提示】如图所示，设圆C上的任意一点为M(，)，且O、C、M三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在OCM中，由余弦定理得|OM|2|OC|22|OM|OC|cosCOM|CM|2，221cos(1)r2，可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也适合上式，当1时也满足
10、该式，所以半径为r，圆心在C(1，1)的圆的极坐标方程为221cos(1)r20.求圆心在C处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上【思路探究】解答本题先设圆上任意一点M(，)，建立等式转化为，的方程，化简可得，并检验特殊点【自主解答】如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连接AM，则OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos，4sin ，经验证，点O(0,0)，A的坐标满足上式，满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin，4sin 4sin2，点在此圆上1求曲线的极坐标方程通常有以下五个
11、步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(，)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(，)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只要对特殊点加以检验即可)2求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示再练一题4曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_【解析】直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .【答案】2cos 构建体系极坐标方程1圆心在(1,0)且过极
12、点的圆的极坐标方程为()A1Bcos C2cos D2sin 【解析】圆的直角坐标方程是(x1)2y21，将xcos ，ysin 代入上式，整理得，2cos ，即为此圆的极坐标方程【答案】C2极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线【解析】由题设，得1，或，1表示圆，(0)表示一条射线【答案】C3极坐标方程分别为2cos 和sin 的两个圆的圆心距为_. 【导学号：91060007】【解析】两圆方程分别为x2y22x，x2y2y，知两圆圆心C1(1,0)，C2，|C1C2|.【答案】4(2016佛山质检)在极坐标系(，)(02)中，直
13、线被圆2sin 截得的弦长是_【解析】直线为yx(x0)，圆的方程为x2(y1)21，交于原点和点A(1,1)，弦长为. 【答案】5求过(2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程【解】由题意知，直线的直角坐标方程为y32(x2)，即：2xy70.设M(，)为直线上任意一点，将xcos ，ysin 代入直角坐标方程2xy70得：2cos sin 70，这就是所求的极坐标方程我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1极坐标方程1表示()A直线B射线C圆D椭圆【解析】由1，得21，即x2y21，故选C.【答案】C2过极
14、点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为()AB，0C，0D和，0【解析】以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线两条射线的极坐标方程为和，直线的极坐标方程为和(0)【答案】D3在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A. B.C(1,0)D(1，)【解析】由2sin 得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.【答案】B4在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R)和cos 1【解析】由2cos ，得22cos ，化
15、为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于极轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.【答案】B5在极坐标系中与圆4sin 相切的一条直线的方程为() 【导学号：91060008】Acos Bcos 2C4sinD4sin【解析】极坐标方程4sin 化为24sin ，即x2y24y，即x2(y2)24.由所给的选项中cos 2知，x2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切【答案】B二、填空题6在极坐标系中，圆4被直线分成两部分的面积之比是_【解析】直线过圆4的圆心，直线把圆分成两部分的面积之比是11.【答案】117(2016惠州模拟)若直线l的极坐标
16、方程为cos3，曲线C：1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为_【解析】直线的直角坐标方程为xy60，曲线C的方程为x2y21，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax131.【答案】318在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_【解析】极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程为yx，即x3y0，圆心(0,2)到直线x3y0的距离为.【答案】三、解答题9(2016银川月考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为co
17、s1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程【解】(1)由cos1，得1.又xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为y1，即xy20.当0时，2，点M(2,0)当时，点N.(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标.又P为MN的中点，点P，则点P的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为(R)10(2016南通期中)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin，(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标【解】(1)由cos sin ，可得2
18、cos sin ，又代入得O：x2y2xy0，由l：sin，得：sin cos ，sin cos 1，又代入得：xy10.(2)由解得又得又因为(0，)，则，故为.能力提升1在极坐标系中，曲线4sin关于()A直线对称B直线对称C点对称D极点对称【解析】由方程4sin，得22sin 2cos ，即x2y22y2x，配方，得(x)2(y1)24.它表示圆心在(，1)、半径为2且过原点的圆，所以在极坐标系中，它关于直线成轴对称【答案】B2(2016湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点作曲线C的切线，则切线长为()A4 B.C2D2【解析】4sin 化为直角坐标方程为x2(y2)
19、24，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为2.【答案】C3在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_【解析】由2sin ，得22sin ，其直角坐标方程为x2y22y，cos 1的直角坐标方程为x1，联立解得点(1,1)的极坐标为.【答案】4在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r1，P在圆C上运动(1)求圆C的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程【解】(1)设圆C上任一点坐标为(，)，由余弦定理得1222222cos，所以圆的极坐标方程为24cos30.(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x1)2(y)21，P在圆C上，所以(2x1)2(2y)21，则Q的直角坐标方程为22.
