1、1.(2010通州模拟)数列a1+2，ak+2k，a10+20共有10项，且其和为240，则a1+ak+a10之值为.解析：(a1+2)+(ak+2k)+(a10+20)=(a1+ak+a10)+(2+2k+20)=(a1+ak+a10)+110=240.所以a1+ak+a10=130.2.(2010江苏通州中学高模)已知数列an对于任意p，qN*有ap+aq=ap+aq，若a1=，则a100=.解析：取p=n，q=1，所以an+1-an=，所以数列an是公差、首项都为的等差数列，a100=+(100-1)=40.25252525*131083()212_3.(2011).nnnbaa nbb
2、a 数列的首项为，为等差数列且若，则四川卷 N8171123282828 642024360.nnnbnaanaaaaaaaa 由已知有，由叠加法解析：4131122|21 122.12122nnnnaqaa qqaqnaaa 设等比数列的公比为，则，解析：所以，所以等比数列的公比为，所以 1412142_4.(2011).nnaaaaaa 在等比数列北京卷中，则 23121212122222322123min221121122311121,2,3.3aaa qaa qaa qaqaaqaqaaaaaaq 由题意：，所以，而因为，所以，的最小值解析：分别为，所以12713572465.(201
3、1)1.1aaaaaaaqaaaq设，其中，成公比为 的等比数列，成公差为的等差数列，则 的最小值是_苏卷_江例1：已知二次函数f(x)=x2-ax+a(xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0 x1f(x2)成立设数列an的前n项和Sn=f(n)(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列an的通项公式分析:第(1)问由已知条件确定a的值时要注意“在定义域内存在0 x1f(x2)成立”与“函数y=f(x)在(0，+)上单调递减”之间的区别；第(2)问主要是利用an与Sn的关系解析：(1)因为不等式f(x)0的解集有且只有一个元素，所以判别式=a2-4a=0，解得
4、a=0或a=4.当a=0时，函数f(x)=x2在(0，+)上递增，不满足条件；当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减，满足条件 综上得a=4，即f(x)=x2-4x+4.(2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2，当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5，所以an=.11)25(2)nnn（变式1.等差数列an中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，akn，成等比数列，求数列kn的通项公式解析：设等差数列an 的公差为d，则，a2a2=a1a4，1112aaa 即(a1+d
5、)2=a1(a1+3d)，即d2-a1d=0.因为d0，所以d=a1，等比数列a1，a3，ak1，ak2，akn，的公比q=3，13aa所以akn=a13n+1.akn既是等差数列an中的第kn项，同时又是等比数列 a1，a3，ak1，ak2，akn，中的第(n+2)项，所以a1+(kn-1)a1=a13n+1，kn=3n+1.分析：立足基础，注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式，注重代数式的有序变形 2*1,1114()0()2.1224lg2nnnnnnnnnnf xxyf xxf xxxnxxxxxaaxx已知函数，设曲线在点，处的切线与 轴的交点为，其中 为正实数用 表示；
6、若，记，证明数列成等例比数列，并求数列的通项公式N 1221212()(4)20(422)242.0.1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnfxxyf xxf xyf xfxxxyxxxxyxxxxxxxxxxx由题意可得，所以曲线在点，处的切线方程是，即令，得，即显然，所以解析：122122122122442222222442222222122()1221222lglg()2lg1222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaa 由，可得，故，从而，即，所以数列是以 为公比的等比数列，1111111
7、112222222lglg3.22lg3lg322lg3lg3221.1233nnnnnnnnnnnnnaxxaxaxxxx所以数列是以 为公比的等比数列，所以，从而，1112221122,0,0e0,10(2011)1,2)xnnkkPxyQQxPPxQPQPQPQPxkn如图，从点作 轴的垂线交于曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从 作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，记变式2.陕西点的为，卷坐标，11122331(2)2.kknnxxknPQPQPQP Q试求 与的关系；求 11,111111*111(1)11223312(1)110e(e)ee01(2)011
8、ee1ee12e11xkkkkkkkkkkkkkkkkknnnnnPxyQxxyxxxxyxxknkxxxxkP QxSPQPQPQP Qeeee 设，由得，点处切线方程为由得，由，解析：，得，所以于是N.1ne 13*1293 2.12()nnnnnnnnanSaSaanSSbnbn 等差数列的前 项和为，求数列的通项与前 项和；设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为例3等比数列N分析：(1)注意基本量及其关系的运用，知三求二；(2)不可能、不成立问题常通过举反例来处理，一般性证明宜用反证法 11222212.3393 2212(2)12.()()(2)(2)(2)22102.nnnnn
9、pqrqpradadanSn nSbnnbbbbpqrbb bqprqprqpr 由已知得，所以故，由得反证法 假设数列中存在三项，互不相等 成等比数列，则，即，所以解析：2*2020()2nqprpqrqprprqprprprb因为，所以，消去，得，与矛盾因此数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列N 11*12()3.112 32nnnnnnnnnnaaaanbaabb已知数列中，试证数列是等比数列，并求数列的通项公式；在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说变式3.明理由N 1111112211122223331112223331.21123313
10、131nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa 由，得，所以又因为，所以数列是首项为，公比为的解析：等比数列1112133122311.nnnnnnnnnaab 所以，即，所以 11*11111111111111(2)221212 21241.20,4140442321nkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbbbbkkbbbkkbbbkk 假设在数列中，存在连续三项，成等差数列，则，即，即若 为偶数，则，所以，不存在偶数，使得，成等差数列若 为奇数，则当时，而N 1123443kkknkbbbbbbb，所以，当且仅当时，成等差数列综上所述，在数列中，有且仅有连续
11、三项，成等差数列1等差、等比数列的结论，如(1)an是等差数列，Sn=i.()m+n=p+qam+an=ap+aq；()数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，是等差数列；()S2n-1=(2n-1)an.(2)an是等比数列，Sn=i.()m+n=p+qaman=apaq；1nia1nia()数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，(q1)是等比数列；()a1a2a2n-1=(an)2n-1.2一般数列求和的几种常用方法、和与项之间的关系：(1)分项求和、并项求和、裂项相消、倒序相加、错位相减等；(2)Sn=a1+a2+anan=)2()111 nSSnnn（(2010 安 徽 卷)(本
12、 小 题 满 分 14 分)设 数 列 a1，a2，an，中的每一项都不为0.证明：an为等差数列的充分必要条件是：“对任何nN*，都有 +=.”211aa321aa11nnaa11nna a 证明：(1)先证必要性 设数列an的公差为d.若d=0，则所述等式显然成立(2分)若d0，则 211aa321aa11nnaa+=1d)1123231212nnnnaaaaaaaaaaaa（=)11()11()11(113221nnaaaaaad)11(111naad1111111nnnaanda aa a(2)再证充分性 依题意有 211aa321aa11nnaa11naan+=；211aa321aa
13、11nnaa+212111nnnaanaa，-，得212111nnnaanaa-11naan 在上式两端同乘a1an+1an+2，得a1=(n+1)an+1-nan+2；同理可得a1=nan-(n-1)an+1.-，得2nan+1=n(an+2+an)，即an+2-an+1=an+1-an，所以an是等差数列 由(1)(2)命题成立 1证明题要注意格式规范；2分必要性、充分性两大块分别处理先从容易处即必要性的证明下手；3必要性证明时因公差d在分母上出现，所以要分d=0和d0两种不同的情况，事实上，以字母形式出现的题都要注意这个问题；4充分性证明时两次使用构造平行式相减法，这是解决数列问题、化简数列关系式的常用方法之一.
