1、第2课时 椭圆方程及性质的应用 1.点与椭圆的位置关系设 P(x0，y0)，椭圆x2a2 y2b2 1(ab0)，则点 P 与椭圆的位置关系如表所示：必备知识自主学习导思1.直线与椭圆的位置关系有哪些？2弦长公式是什么？位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)相交，两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2).弦长公式：|AB|_弦长公式：|AB|_ 2212121()4kxxx x21212211(yy)4y yk1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大()(2)直线x2 y1 被椭圆x24 y21 截得的弦长为 5
2、.()(3)已知椭圆x2a2 y2b2 1(ab0)与点 P(b，0)，过点 P 可作出该椭圆的一条切线()(4)直线 yk(xa)(k0)与椭圆x2a2 y2b2 1 的位置关系是相交()提示：(1).根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大(2).由x2 y1 得 yx2 1，代入x24 y21，解得两交点坐标 A(0，1)，B(2，0).|AB|（02）2（10）2 5.(3).因为 P(b，0)在椭圆内部，过点 P 作不出椭圆的切线(4).直线 yk(xa)(k0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线 yk(xa)与椭圆x2a2 y2b2 1 的位置关系是相交 2直线 ykxk
3、1(k0)与椭圆x29 y24 1 的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定【解析】选 A.直线 ykxk1k(x1)1(k0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交3(2020沈阳高二检测)椭圆 ax2by21()a0，b0与直线 y1x 交于 A，B两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32，则ba 的值为()A 33 B2 33 C9 32 D2 327【解析】选 B.设 A()x1，y1，B()x2，y2，由ax2by21y1x得()abx22bxb10，则 x1x2 2bab.设线段 AB 的中点为 C，则 xC bab.将 xC bab 代入 y1
4、x 得到 yC aab.因为 kOCaabbabab 32，故ba 233.4(教材二次开发：习题改编)椭圆x216 y24 1 上的点到直线 x2y 2 0 的最大距离是_【解析】设直线 x2yc0 与椭圆x216 y24 1 相切由x2yc0，x216y24 1，消去 x 整理得 8y24cyc2160.由 16(32c2)0 得 c4 2 当 c4 2 时，符合题意(c4 2 舍去).即 x2y4 2 0 与椭圆x216 y24 1 相切，椭圆x216 y24 1 上的点到直线 x2y 2 0 的最大距离即为两条平行线之间的距离 d|24 2|1222 10.答案：10 关键能力合作学习
5、类型一 直线与椭圆的位置关系(数学运算)【典例】1.若直线 mxny4 与O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x29 y24 1 的交点个数为()A2 个 B至多一个 C1 个 D0 个2已知椭圆 E：x28 y24 1，直线 l：yxm 与椭圆 E 有两个公共点，则实数m 的取值范围是_【解析】1.选 A.由题意得4m2n2 2，所以 m2n24.所以2m2，2n0，解得2 3 m2 3，所以实数 m 的取值范围是(2 3，2 3).答案：(2 3，2 3)直线与椭圆位置关系的判断方法【补偿训练】在平面直角坐标系 Oxy 中，经过点(0，2)且斜率为 k 的直线 l 与
6、椭圆x22 y21 有两个不同的交点 P 和 Q，求 k 的取值范围【解析】由已知条件知直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx2)21，整理得12k2x22 2 kx10，直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k2412k24k220，解得 k 22或 k 22，所以 k 的取值范围为，2222，.类型二 弦长及中点弦问题(数学运算)【典例】过椭圆x216 y24 1 内一点 M(2，1)引一条弦，使弦被 M 点平分(1)求此弦所在的直线方程(2)求此弦长【思路导引】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解方法二：点差法(2)设弦
7、的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解【解析】(1)方法一：设所求直线方程为 y1k(x2).代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是方程的两个根，于是 x1x28（2k2k）4k21.又 M 为 AB 的中点，所以x1x224（2k2k）4k212，解得 k12.故所求直线的方程为 x2y40.方法二：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2).又 M(2，1)为 AB 的中点，所以 x1x24，y1y22.又 A，B 两点在椭圆上，则
8、 x21 4y21 16，x22 4y22 16.两式相减得(x21 x22)4(y21 y22)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.所以y1y2x1x2 x1x24（y1y2）12，即 kAB12.又直线 AB 过点 M(2，1)，故所求直线的方程为 x2y40.(2)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2y40，x216y24 1，得 x24x0，所以 x1x24，x1x20，所以|AB|1k2 （x1x2）24x1x2 1122 4240 2 5.直线被椭圆截得的弦长的求法思路(1)求两交点坐标，转化为两点间距离(2)用公式来求设直线斜率
9、为 k，直线与椭圆两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x1x2|11k2|y1y2|.提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于 0.已知动点 P 与平面上两定点 A(2，0)，B(2，0)连线的斜率的积为定值12.(1)试求动点 P 的轨迹方程 C；(2)设直线 l：ykx1 与曲线 C 交于 M，N 两点，当|MN|4 23时，求直线 l 的方程【解析】(1)设动点 P 的坐标是(x，y)，由题意得，kPAkPB12.所以yx 2 yx 2 12，化简整理得x22 y21.故 P
10、点的轨迹方程 C 是x22 y21(x 2).(2)设直线 l 与曲线 C 的交点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由ykx1，x22 y21，得(12k2)x24kx0.所以 x1x2 4k12k2，x1x20.|MN|1k2（x1x2）24x1x2 4 23，整理得 k4k220，解得 k21 或 k22(舍).所以 k1，经检验符合题意所以直线 l 的方程是 yx1，即 xy10 或 xy10.类型三 与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知椭圆 E：x2a2 y2b2 1(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，上顶点为M，且 MF1F2 为面积是 1 的等腰直角三角形
11、(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l：yxm 与椭圆 E 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求 m 的值【思路导引】(1)根据已知条件求出 a，b，从而得到椭圆方程(2)依据以 AB 为直径的圆的圆心到 y 轴的距离等于半径，列方程求 m.【解析】(1)由题意可得 M(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，由 MF1F2 为面积是 1 的等腰直角三角形得12 a21，bc，且 a2b2c2，解得 bc1，a 2，则椭圆 E 的方程为x22 y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x22 y21，xmy3x24mx2m220，有 16m212(2
12、m22)0，即 3 m 3，x1x24m3，x1x22m223，可得 AB 中点横坐标为2m3，|AB|11 （x1x2）24x1x2 2 16m298m283433m2，以AB 为直径的圆与 y 轴相切，可得半径 r12|AB|2|m|3，即233m2 2|m|3，解得 m 62(3，3)，则 m 的值为 62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视【补偿训练】已知椭圆 C：x2a
13、2 y2b2 1(ab0)的右焦点为 F，直线 l：y 3 x 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A 在 B 上方)，若 AFBF，则椭圆 C 的离心率为_【解析】由椭圆 C：x2a2 y2b2 1(ab0)的右焦点为 F，直线 l：y 3 x 与椭圆C 相交于 A，B 两点，AFBF，可知三角形 OAF 是正三角形，A12c，32 c，所以|FB|3 c，由椭圆的定义可得 3 cc2a，可得 eca 231 3 1.答案：3 1 备选类型 椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，已知椭圆 E：x2a2 y2b2 1(ab0)过点(0，2)，且离心率 e 22.(1)
14、求椭圆 E 的方程；(2)设直线 l：xmy1(mR)交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合 a2b2c2 即可求出 a，b，c 的值，从而可得椭圆 E 的方程(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点 G 与圆心的距离 d 与圆的半径 r 进行比较，若 dr，则点 G 在圆外；若 dr，则点 G 在圆上；若 d0，则点 G 在圆外；若GA GB 0，所以|GH|AB|2，故点 G94，0在以线段 AB 为直径的圆外方法二：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则GA x194，
15、y1，GB x294，y2.由xmy1，x24 y22 1 得(m22)y22my30，所以 y1y2 2mm22，y1y23m22，从而GA GB x194x294y1y2my154my254y1y2(m21)y1y254 m(y1y2)2516 3（m21）m2252m2m22 2516 17m2216（m22）0，所以 cos GA，GB 0.又GA，GB 不共线，所以AGB 为锐角故点 G94，0在以线段 AB 为直径的圆外 解决与椭圆有关的综合问题的思路 直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的
16、数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件 椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(3，0)和 F2(3，0)，且椭圆过点1，32.(1)求椭圆方程；(2)过点65，0作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN 的大小是否为定值，并说明理由【解析】(1)由题意设椭圆方程为x2a2 y2b2 1(ab0)，将 c 3，a2b2c2，代入椭圆方程得 x2b23 y2b2 1，又因为椭圆过点1，32，得1b23 34b2 1，解得 b21，所以 a24.所以椭圆的方程为x24
17、 y21.(2)设直线 MN 的方程为 xky65，联立直线 MN 和椭圆的方程xky65，x24 y21，得(k24)y2125 ky6425 0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2，0)，y1y26425（k24），y1y212k5（k24），则AM AN(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y245 k(y1y2)1625 0，所以MAN2.课堂检测素养达标1若直线 yx2 与椭圆x2m y23 1 有两个公共点，则 m 的取值范围是()Am1 Bm1 且 m3Cm3 Dm0 且 m3【解析】选 B.在椭圆x2m y23 1 中，m0 且 m3，而直线 yx2 与椭圆
18、x2m y23 1 有两个公共点，则yx2，x2my23 1，化简可得()m3x24mxm0，所以()4m24m()m312m()m10，可得 m1 或 m0 且 m3，得 m1 且 m3.2如果椭圆x236 y29 1 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是()Ax2y0 Bx2y40C2x3y120 Dx2y80【解析】选 D.设这条弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则x2136y219 1，x2236y229 1，两式相减再变形得x1x236ky1y290.又弦中点为(4，2)，故 k12，故这条弦所在的直线方程为 y212(x4)，整理得 x2y8
19、0.3过椭圆x225 y29 1 的左焦点且斜率为 1 的弦 AB 的长是_【解析】椭圆的左焦点为(4，0)，由yx4，x225y29 1，得 34x2200 x1750，所以 x1x220034，x1x217534.所以|AB|2 （x1x2）24x1x2 2 200342417534 9017.答案：90174已知椭圆x2a2 y22 1(a 2)的左、右焦点分别为 F1，F2.过左焦点 F1 作斜率为2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，P 是 AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则 a 的值是_【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2 y21b21，x22a2y22b21，两式相减得（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b2，所以x1x2y1y2 a2b2 y1y2x1x2，所以x0y0 2a2b2 4，所以 a22b24，所以 a2.答案：2 5(2020南昌高二检测)已知直线 ykx1 与焦点在 x 轴上的椭圆 C：x24 y2b2 1(b0)总有公共点，则椭圆 C 的离心率取值范围是_【解析】因为椭圆焦点在 x 轴上，所以 b20，所以 0b0，所以 b1，综上 1b2，eca 1b2a2 1b24 0，32.答案：0，32
