1、重组七大题冲关三角函数的综合问题测试时间:120分钟满分:150分解答题(本题共12小题,共150分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12016吉林三调(本小题满分12分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2c2a2bc.(1)求A的大小;(2)设函数f(x)sincoscos2,当f(B)取最大值时,判断ABC的形状解(1)在ABC中,根据余弦定理:cosA,而A(0,),所以A.(4分)(2)因为f(x)sincoscos2,所以f(x)sinxcosx,即f(x)sin,(7分)则f(B)sin.因为B(0,),所以当B,即B时,f(B)取最大值,(10分)此
2、时易知ABC是直角三角形(12分)22017山西四校模拟(本小题满分12分)已知函数f(x)psin2xqcos2x(其中p,q是实数)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)Asin(x)的形式及其最小正周期;(2)将函数yf(x)的图象向左平移m(0m)个单位长度后,得到函数yg(x)的图象,已知点P(0,5),若函数yg(x)的图象上存在点Q,使得|PQ|3,求函数yg(x)在区间内的单调递增区间和最值解(1)因为f(x)psin2xqcos2x,则由图象得解得p,q1,故f(x)sin2xcos2x2sin.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin.(4分)最小正周期T.(5分)(2)由
3、(1)可知g(x)f(xm)2sin.(7分)于是当且仅当Q(0,2)在yg(x)的图象上时满足条件g(0)2sin2.由0m,得m.故g(x)2sin2cos2x,(10分)当x,即2x时,函数yg(x)的单调递增区间为,最大值是2,最小值是2.(12分)32016北京高考(本小题满分12分)在ABC中,a2c2b2ac.(1)求B的大小;(2)求cosAcosC的最大值解(1)由余弦定理及题设,得cosB.(2分)又0B,所以B.(4分)(2)由(1)知AC,则cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos.(9分)因为0A,(10分)所以当A时,cosAco
4、sC取得最大值1.(12分)42016邯郸七调(本小题满分12分)已知m(cosxsinx,1),n(2cosx,y),满足mn0.(1)将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的单调递增区间;(2)已知ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f3,且a2,求ABC面积的最大值解(1)因为mn2cos2x2sinxcosxysin2xcos2x1y2sin1y0,所以f(x)2sin1,(3分)令2x(kZ),得x(kZ),所以f(x)的单调递增区间是(kZ)(6分)(2)f2sin13,sin1,又A,A,A.(8分)在ABC中,由余弦定理有a2b2c22bccosAb2c2bc2
5、bcbcbc,可知bc4(当且仅当bc时取等号),(10分)SABCbcsinA4,即ABC面积的最大值为.(12分)52016银川九中二模(本小题满分12分)在ABC中,内角A、B、C对边分别是a,b,c,已知c2,C.(1)若ABC的面积等于,求a,b;(2)若sinCsin(BA)2sin2A,求ABC的面积解(1)c2,C60,由余弦定理c2a2b22abcosC,得a2b2ab4,(2分)根据三角形的面积SabsinC,可得ab4,(4分)联立方程组解得a2,b2.(6分)(2)由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA,即sinBcosA2sinAcosA,(7分)当c
6、osA0时,A,B,a,b;(9分)当cosA0时,得sinB2sinA,由正弦定理得b2a,联立方程组解得a,b.(11分)所以ABC的面积SabsinC.(12分)62016石家庄质检(本小题满分12分)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcosCc2a.(1)求B的大小;(2)若BD为AC边上的中线,cosA,BD,求ABC的面积解(1)2bcosCc2a,由正弦定理,得2sinBcosCsinC2sinA,(2分)ABC,sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC,2sinBcosCsinC2(sinBcosCcosBsinC),sinC2cosBsinC.
7、(4分)因为0C,所以sinC0,所以cosB,因为0B,所以B.(6分)(2)解法一:在ABD中,由余弦定理得2c222ccosA,所以c2bc.(8分)在ABC中,由正弦定理得,由已知得sinA.所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,所以cb.(10分)由,解得所以SABCbcsinA10.(12分)解法二:延长BD到E,DEBD,连接AE,ABE中,BAE,BE2AB2AE22ABAEcosBAE.因为AEBC,所以129c2a2ac,(8分)由已知得,sinA,所以sinCsin(AB),(10分)由,解得c5,a8.SABCcasinABC10.(12分)720
8、16陕西一模(本小题满分13分)已知m(1,cosx),n(t,sinxcosx),函数f(x)mn(tR)的图象过点M.(1)求t的值以及函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a,求f(A)的取值范围解(1)由题意得f(x)sinxcosxcos2xtsin2x(cos2x1)tsint,(2分)因为点M在函数f(x)的图象上,所以sint0.解得t,(4分)T.由2k2x2k,kZ,可得函数f(x)的单调增区间为,kZ.(7分)(2)ccosBbcosC2acosB,由正弦定理,得sinCcosBsinBcosC2sinAcosB,s
9、in(BC)2sinAcosB,即sinA2sinAcosB.又A(0,),sinA0,cosB.(10分)B(0,),B,AC.0A,2Ab,且bcosBacosA.(1)判断ABC的形状;(2)记ACM,f(),求f()的最大值解(1)由正弦定理,得,又bcosBacosA,得sin2Bsin2A,(3分)又ab,所以AB,且A,B(0,),所以2A2B,C,(5分)所以ABC是直角三角形(6分)(2)ACM,由(1)得BCN,则AC,BC,(9分)f()cossincos,(11分)所以时,f()的最大值为.(13分)102017湖北重点中学联考(本小题满分13分)已知函数f(x)2co
10、sx(sinxcosx)m(mR),将yf(x)的图象向左平移个单位后得到yg(x)的图象,且yg(x)在区间内的最大值为.(1)求实数m的值;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若g1,且ac2,求ABC周长l的取值范围解(1)由题设得f(x)sin2xcos2x1msin1m,(2分)g(x)sin1msin1m,(4分)当x时,2x,(5分)由已知得当2x,即x时,g(x)max1m,m1.(7分)(2)由已知,得gsin1,在ABC中,0B,B,B,即B,(9分)又ac2,由余弦定理得:b2a2c22accosBa2c2ac(ac)23ac(ac)21,(11分)当
11、且仅当ac1时等号成立,又bac2,1b2,ABC周长labc3,4),故ABC周长l的取值范围是3,4)(13分)112017江西临川期末(本小题满分13分)在ABC中,AD是BC边的中线,AB2AC2ABACBC2,且ABC的面积为.(1)求BAC的大小及的值;(2)若AB4,求AD的长解(1)在ABC中,由AB2AC2ABACBC2,可得cosBAC,故BAC120.(3分)因为SABCABACsinBACABACsin120,所以ABAC,解得ABAC4.(5分)所以|cos120|42.(6分)(2)解法一:由AB4,ABAC4,得AC1.在ABC中,由余弦定理得BC2AB2AC22
12、ABACcosBAC16124121,得BC,(9分)由正弦定理得,得sinABC.0ABC60,故cosABC.(10分)在ABD中,AD2AB2BD22ABBDcosABD1624,得AD.(13分)解法二:由AB4,ABAC4,得AC1.在ABC中,由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC16124121,得BC,(9分)cosABC,(10分)在ABD中,AD2AB2BD22ABBDcosABD1624,得AD.(13分)122017吉林长春质监(本小题满分13分)已知f(x)cosxsinxcos2x.(1)求f(x)的单调增区间;(2)在ABC中,A为锐角且f(A),3,AB,AD2,求sinBAD.解(1)由题可知f(x)sin2x(1cos2x)sin,(3分)令2k2x2k,kZ,即函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(5分)(2)由f(A),所以sin,解得A或A(舍)(7分)又因为3,则D为ABC的重心,以AB、AC为邻边作平行四边形ABEC,因为AD2,所以AE6,在ABE中,AB,ABE120.(9分)由正弦定理可得,解得sinAEB且cosAEB.(11分)因此sinBADsin.(13分)