1、专题四 立体几何第一讲 空间几何体热点聚焦 题型突破 限时规范训练 高考体验 真题自检 目 录 ONTENTSC考情分析 1 立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算.考情分析 1 年份卷别考查角度及命题位置卷三视图与表面积问题T7卷三视图与体积问题T42017卷圆柱与球的结合体问题T8卷有关球的三视图及表面积T6卷空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T62016卷空间几何体三视图及表面积的计算T9直三棱柱的体积最值问题T10考情分析 1
2、 年份卷别考查角度及命题位置卷锥体体积的计算T6空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T112015卷空间几何体的三视图及相关体积的计算T6三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥的结构特征T9真题自检2 1(2017高考全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12C14 D16解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直三棱柱的高为 2，
3、三棱锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为2422212，故选 B.B 2 真题自检2(2017高考全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D362 真题自检解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积V32101232663.法二：依题意，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为 3，高为 7
4、的圆柱的体积，所以它的体积 V32763，选择 B.答案：B2 真题自检3(2016高考全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28 D322 真题自检解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l 222 324，S 表r2ch12cl416828.答案：C2 真题自检4(2016高考全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 5B5418 5C90 D812 真
5、题自检解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 5)25418 5.故选 B.答案：B2 真题自检5(2016高考全国卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A4 B.92 C6 D.323解析：设球的半径为 R，ABC 的内切圆半径为681022，R2.又 2R3，R32，Vmax4332392.故选B.B 方法结论 考点一 空间几何体与三视图 一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图
6、放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”题组突破 侧视图从图形的左面向右面看，看到一个矩形，在矩形上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选 C.1(2017吉林实验中学模拟)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()C考点一 空间几何体与三视图 由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，因为 AB平面 BCD，AE平面 ABC，CD平面 ABC，所以平面ABE平面 BCD，平面AEB平面 ABC，平面BCD平面 ABC，平面AEDC平面ABC，故 选B.B题组突破 2(2017安徽六校素质测试)如图，网格纸
7、上每个小正方形的边长为 1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面中互相垂直的平面有()A3 对 B4 对C5 对D6 对考点一 空间几何体与三视图 误区警示 考点一 空间几何体与三视图 要熟悉各种基本几何体的三视图同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线考点二 空间几何体的表面积与体积 方法结论 求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用
8、由三视图可知，该几何体是半径为 1 的半球，其表面积为 23.选 A.题组突破 1(2017长沙模拟)如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为 2 的半圆，俯视图是直径为 2 的圆，则该几何体的表面积为()A3 B4C5 D12考点二 空间几何体的表面积与体积 A2(2017贵阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积是()A.12B1C2 D.32题组突破 依题意得，题中的几何体是一个倒立的正六棱锥，其中底面是边长为 1 的正六边形，高为 2 32 3，因此题中的几何体体积等于13(6 34 12)332，选 D.D
9、考点二 空间几何体的表面积与体积 3已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为()A.103 B14C.163 8 D.163 4题组突破 依题意知，该简单组合体是从一个圆锥(底面半径为 2、高为4)中截去一个正四棱柱(底面正方形边长为 2、高为 2)后剩余的部分，因此该简单组合体的体积为13224(2)22163 4，选 D.D考点二 空间几何体的表面积与体积 误区警示 考点二 空间几何体的表面积与体积 1求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面；2在求几何体的表面积和体积时，注意等价转化思想的运用，如用“割补法”把不规则几何体转化为规则几何体、立体几何问题转化为平面几
10、何问题等考点三 空间几何体与球的切、接问题 方法结论 1解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R.正方体的外接球，则 2R 3a；正方体的内切球，则 2Ra；球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.考点三 空间几何体与球的切、接问题 方法结论(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，球的半径为 R，则 2R a2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.典例(1)已知 S，A，B，C 是球 O表面上的不同点，SA平
11、面 ABC，ABBC，AB1，BC 2.若球 O的表面积为 4，则 SA()A.22B1C.2D.32根据已知把 SABC 补成 如 图 所 示 的 长 方体因为球 O 的表面积为 4，所以球 O 的半径R1,2RSA2122，解得SA1，故选 B.B考点三 空间几何体与球的切、接问题(2)(2017高考全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B.34C.2D.4设圆柱的底面半径为r，则 r21212234，所以，圆柱的体积V34134，故选 B.B考点三 空间几何体与球的切、接问题(3)(2017广西三市联考)已知长方体ABCD
12、A1B1C1D1内接于球 O,底面ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为AA1 的中点，OA平面 BDE，则球O 的表面积为_取 BD 的中点为 O1，连接 OO1，OE，O1E，O1A，则四边形 OO1AE 为矩形，OA平面 BDE，OAEO1，即四边形OO1AE 为正方形，则球O 的半径 ROA2，球 O 的表面积 S42216.16考点三 空间几何体与球的切、接问题 类题通法 考点三 空间几何体与球的切、接问题 1构造法在定几何体外接球球心中的应用常见的构造条件及构造方法有：(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)
13、同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体类题通法 考点三 空间几何体与球的切、接问题 2性质法在定几何体外接球球心中的应用立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心1(2017贵阳模拟)三棱锥 PABC的四个顶点都在体积为5003的球的表面上，底面 ABC 所在的小圆面积为 16，则该三棱锥
14、的高的最大值为()A4 B6C8 D10依题意，设题中球的球心为 O、半径为 R，ABC 的外接圆半径为 r，则4R33 5003，解得 R5,由 r216，解得 r4，又球心 O 到平面 ABC 的距离为 R2r23，因此三棱锥 PABC 的高的最大值为 538，选C.C考点三 空间几何体与球的切、接问题 演练冲关 2 正 三 棱 锥ABCD 内 接于球 O，且底面边长为 3，侧棱长 为 2，则 球 O 的 表 面 积 为_如图，设三棱锥 ABCD的外接球的半径为 r，M为正BCD 的中心，因为BCCDBD 3，ABACAD2，AM平面 BCD，所以 DM1，AM 3，又 OAODr，所以(
15、3r)21r2，解得 r2 33，所以球 O的表面积 S163.163考点三 空间几何体与球的切、接问题 演练冲关 考点四 与球切、接有关的几何体的最值问题 方法结论与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积问题典例(2017洛阳统考)已知点 A，B，C，D 均在球 O 上，ABBC 6，AC2 3.若三棱锥 DABC 体积的最大值为 3，则球 O 的表面积为_由题意可得，ABC2，ABC 的外接圆半径 r3，当三棱锥的体积最大时，VDABC13SABCh(h为 D 到底面 ABC 的距离)，即 31312 6 6hh3，即 R R2r23(R 为外接球半径)，解得 R2，球
16、 O 的表面积为 42216.16考点四 与球切、接有关的几何体的最值问题 类题通法 考点四 与球切、接有关的几何体的最值问题 求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解，有时也可建立目标函数转化为函数最值求解1(2016长春质量监测)正四面体 ABCD 的外接球半径为 2，过棱 AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为_演练冲关 由题意，面积最小的截面是以 AB 为直径的圆，在正四面体 ABCD中，如图，设 E 为BCD 的中心，连接 AE，BE，则球心 O 在 AE上，延长 AE 交球面于 F，则 AF 是球的直径，ABF90，又AEBE，所以在ABF 中，由射影定理得 AB2
17、AEAF4AE，又 AE AB2BE2 63 AB，所以 AB4 63，故截面面积的最小值为 2 63283.83考点四 与球切、接有关的几何体的最值问题 2(2017贵州适应性考试)已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱与底面垂直)的体积为 3 3 cm3，其所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积的最小值为_cm2.演练冲关 球 O 的表面积最小球 O 的半径 R 最小设正三棱柱的底面边长为 a，高为 b，则正三棱柱的体积 V 34 a2b3 3，所以 a2b12.底面正三角形所在截面圆的半径 r 33 a，则 R2r2b22a23 b24 1312b b24 4bb24，令 f(b)4bb24，0b2R，则 f(b)b382b2，令 f(b)0，解得 b2，当 0b2 时，f(b)0，函数 f(b)单调递减，当 b2 时，f(b)0，函数 f(b)单调递增，所以当 b2 时，f(b)取得最小值 3,即(R2)min3，故球 O 的表面积的最小值为 12.12考点四 与球切、接有关的几何体的最值问题 限时规范训练 点击进入word.
