1、全 国 大 联 考2015届高三第三次联考数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前2次联考内容+数列+不等式.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=x|x2+x-6b成立的充分不必要条件是A.ab+1B.ab-1C.a+1b+1D.a2b25.已知在等比数列an中,a3+a6=6,a6+a9=34,则a8+a11等于 A.34B
2、.38C.316D.3326.已知平面向量a、b,|a|=3,|b|=23且a-b与a垂直,则a与b的夹角为A.6B.3C.23D.567.在各项均为正数的等比数列an中,a3+a11a72,则下列结论中正确的是A.数列an是递增数列B.数列an是递减数列C.数列an有可能是递增数列也有可能是递减数列D.数列an是常数列 8.若函数f(x)=ax-k-1(a0,a1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)=log a(x+k)的图象是9.若0xlog3(3x+y-2),若x-y0,b0,ab=4,当a+4b取得最小值时,ab=.14.设变量x,y满足约束条件x+y3x-y
3、-12x-y3,则目标函数z=2x+3y的最大值为.15.函数y=ax+2-2(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则1m+2n的最小值为.16.设Sn是等差数列an的前n项和,S621且S15120,则a10的最大值是.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-kx+k-1.(1)当k为何值时,不等式f(x)0恒成立;(2)当kR时,解不等式f(x)0.18.(本小题满分12分)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且满足sin A+sin B=2sin
4、C,a=2b.(1)求cos A的值;(2)若ABC的面积SABC=3415,求ABC三边的长.19.(本小题满分12分)已知正项等比数列bn(nN*)中,公比q1,且b3+b5=40,b3b5=256,an=log2bn+2.(1)求证:数列an是等差数列;(2)若cn=1anan+1,求数列cn的前n项和Sn.20.(本小题满分12分)某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元,劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元,劳动力10人,可获利润8万元.若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器
5、各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(ax2-1)ex,aR.(1)若函数f(x)在x=1时取得极值,求a的值;(2)当a0时,求函数f(x)的单调区间.22.(本小题满分12分)各项均为正数的数列xn对一切nN*均满足xn+1xn+12.证明:(1)xnxn+1;(2)1-1nxn1.2015届高三第三次联考数学试卷参考答案1.C由题知集合M=x|-3x2,RN=x|x3,所以M(RN)=x|-3xb成立,但是根据ab不能推出A选项成立,故答案选A.5.Ca6+a9a3+a6=q3=18,q=12,a8+a11=(a6+a9)q2=
6、3414=316.6.A因为 a-b与a垂直,所以(a-b)a=0,所以aa=ba,所以cosa,b=ab|a|b|=aa|a|b|=|a|b|=32,所以a,b=6.7.D由题意可知,a3+a112a3a11=2a7,所以有2a3+a11a72,从而a3+a11a7=2,当且仅当a3=a11时取得等号.此时数列an是常数列.8.A由题意可知f(2)=0,解得k=2,所以f(x)=ax-2-1,又因为是减函数,所以0a1.此时g(x)=loga(x+2)也是单调减的,且过点(-1,0).故选A符合题意.9.B因为0
7、x0),所以4a3+a7=4a5q2+a5q2=32q2+8q2232q28q2=32,当且仅当32q2=8q2,即q2=2时取等号,此时a1=a5q4=2.11.B由xn+2=|xn+1-xn|,得x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|1-2a|,因为数列xn的周期为3,所以x4=x1,即|1-2a|=1,解得a=0或a=1.当a=0时,数列为1,0,1,1,0,1,所以S2014=2671+1=1343.当a=1时,数列为1,1,0,1,1,0,所以S2014=2671+1=1343.12.D要使不等式成立,则有x+y+403x+y-20x+y+43x+y-2,
8、即x+y+403x+y-20x3,设z=x-y,则y=x-z.作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分(不包括左右边界):平移直线y=x-z,由图象可知当直线y=x-z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最大,由x+y+4=0x=3,解得y=-7x=3,代入z=x-y得z=x-y=3+7=10,又因为可行域不包括点B,所以z10,所以要使x-y0,b0,ab=4,所以a=4,b=1,ab=4.14.23作出可行域,如图所示:当目标函数z=2x+3y经过x-y+1=0与2x-y=3的交点(4,5)时,有最大值24+35=23.15.8函数y=ax+2-2(a0,a1)的图象恒过定点A(-
9、2,-1),所以(-2)m+(-1)n+1=0,2m+n=1,又mn0,所以1m+2n=(1m+2n)(2m+n)=4+nm+4mn4+2nm4mn=8.当且仅当nm=4mn,即m=14,n=12时取等号.16.10法一:S6=6a1+15d21,S15=15a1+105d120,2a1+5d7,a1+7d8.又a10=a1+9d=-29(2a1+5d)+139(a1+7d)-297+1398=10.法二:设a1=x,d=y,2x+5y7x+7y8,目标函数a10=z=x+9y,画出平面区域知a10=z=x+9y在点(1,1)处取到最大值10.17.解:(1)由f(x)0恒成,立即x2-kx+
10、k-10恒成立,所以=k2-4(k-1)=(k-2)20,所以k=2.5分(2) 当kR时,f(x)0等价于x2-kx+k-10(x-1)x-(k-1)0.由k-1=1,得k=2.当k=2时,不等式的解集为(-,1)(1,+),当k2时,不等式的解集为(-,1)(k-1,+).10分18.解:(1)因为sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c.又a=2b,可得a=43c,b=23c,所以cos A=b2+c2-a22bc=49c2+c2-169c2223c2=-14.6分(2)由(1)cos A=-14,A(0,),所以sin A=154,所以SABC=12bcsin A
11、=1223cc154=3415,得c2=9,即c=3 ,所以b=2,a=4.12分19.解:(1)由b3+b5=40,b3b5=256,知b3,b5是方程x2-40x+256=0的两根,注意到bn+1bn,得 b3=8,b5=32,因为q2=b5b3=4,所以q=2或q=-2(舍去),所以b1=b3q2=84=2,所以bn=b1qn-1=2n,an=log2bn+2=log22n+2=n+2.因为an+1-an=(n+1)+2-n+2=1,所以数列an是首项为3,公差为1的等差数列.7分(2)因为an=3+(n-1)1=n+2,所以cn=1(n+2)(n+3),所以Sn=134+145+1(n
12、+2)(n+3)=13-14+14-15+1n+2-1n+3=n3n+9.12分20.解:设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元,则30x+20y3005x+10y110x0y0x,yZ,目标函数为z=6x+8y.作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x+8y=0,即3x+4y=0,如图:6分把直线l向右上方平移至l3的位置时,直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组30x+20y=3005x+10y=110(x0,y0,x,yZ)得x=4y=9,所以点M坐标为(4,9),将x=4,y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=64+89=96(万元).所
13、以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时,公司可获得最大周利润为96万元.12分21.解:(1)f(x)=(ax2+2ax-1)ex,xR.2分依题意得f(1)=(3a-1)e=0,解得a=13.经检验符合题意.4分(2)f(x)=(ax2+2ax-1)ex,设g(x)=ax2+2ax-1.当a=0时,f(x)=-ex,f(x)在(-,+)上为单调减函数.5分当a0时,方程g(x)=ax2+2ax-1=0的判别式为=4a2+4a,令=0, 解得a=0(舍去)或a=-1.1当a=-1时,g(x)=-x2-2x-1=-(x+1)20,即f(x)=(ax2+2ax-1)ex0,且f(x)在x=-1两
14、侧同号,仅在x=-1时等于0,则f(x)在(-,+)上为单调减函数.2当-1a0时,0,则g(x)=ax2+2ax-10恒成立,即f(x)0恒成立,则f(x)在(-,+)上为单调减函数.3a0,令g(x)=0,得x1=-1+a2+aa,x2=-1-a2+aa,且x2x1.所以当x-1+a2+aa时,g(x)0,f(x)0,f(x)在(-,-1+a2+aa)上为单调减函数;当-1+a2+aax0,f(x)0,f(x)在(-1+a2+aa,-1-a2+aa)上为单调增函数;当x-1-a2+aa时,g(x)0,f(x)0,f(x)在(-1-a2+aa,+)上为单调减函数.综上所述,当-1a0时,函数
15、f(x)的单调减区间为(-,+);当a0,xn+1xn+12,所以01xn+112-xn,且2-xn0.因为12-xn-xn=xn2-2xn+12-xn=(xn-1)22-xn0.所以12-xnxn,所以xn12-xnxn+1,即xn1-1n.当n=1时,由题设x10可知结论成立;假设n=k时,xk1-1k,当n=k+1时,由(1)得xk+112-xk12-(1-1k)=kk+1=1-1k+1.由,可得xn1-1n.8分下面先证明xn1.假设存在自然数k,使得xk1,则一定存在自然数m,使得xk1+1m.因为xk+1xk+112-xk12-(1+1m)=mm-1,xk+212-xk+112-(1+1m-1)=m-1m-2,xk+m-1m-(m-2)m-(m-1)=2,与题设xk+1xk+1xk=1,根据上述证明可知存在矛盾.所以xn1成立.12分
