1、岳阳县一中2014届高三第四次阶段考试理 科 数 学时量：120分钟分值：150分命题人：唐 亮一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1设集合P=1，0，1，集合Q=0，1，2，3，定义P*Q=，则P*Q的元素的个数为（ ）A4个B7个C10个D 12个2、已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于（ ）A25B24C-25D-243、一个算法的程序框图如下图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是 （ ）A. B. C. D. 4、在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（ ）A-5B1C2D35、如果直线与圆C：有2个不
2、同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是 （ ）A在圆内 B在圆上 C在圆外 D不确定6、当时，恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A B C D7、已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 （） （ ） （A） （B） （C） （D） 8、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得 对任意实数都成立，则称是一个“伴随函数” 有下列关于“伴随函数”的结论：是常数函数中唯一一个“伴随函数”；“伴随函数”至少有一个零点；是一个“伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A1个； B2个； C3个； D0个；二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9、已知是方程的两根
3、，则 10、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 11、设是公差为正数的等差数列，若等于 12、若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 13、已知点M是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则|AM|+|MF|的最小值为 14、设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为 15、将正整数1，2，3，4，n2（n2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（ab）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1in，1jn），且满足则
4、（1）f（3）= ；（2）f（2013）= 。三、解答题（16、17、18题各12分，19、20、21题各13分）16、（满分12分）ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足（1）求角A的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小17、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC，又PA平面ABCD，PA4 PABCDQ（1）线段BC上存在点Q，使PQQD，求的取值范围；（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值。 18、（满分12分）已知等差数列的首项，公差且分别是等比数的（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立求的值1
5、9、（满分13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC（1）设ABx米，cosAf(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(第21题图）CABDl（2）求四边形ABCD面积的最大值20、（满分13分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足； （1）求椭圆的标准方程； （2）O是以F1F2为直径的圆，一直线l: y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B.
6、 当，且满足时，求AOB面积S的取值范围. 21、（满分13分）设函数在上的最大值为. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任何正整数，都有成立；（3）若数列的前之和为，证明：对任意正整数都有成立.高三年级第四次阶段考试理数参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1设集合P=1，0，1，集合Q=0，1，2，3，定义P*Q=，则P*Q的元素的个数为（ C ）A4个B7个C10个D 12个2、已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于（ C ）A25B24C-25D-243、一个算法的程序框图如下图所示，若执行该程序输出的结
7、果为，则判断框中应填入的条件是 （ B）A. B. C. D. 4、在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（ D ）A-5B1C2D35、如果直线与圆C：有2个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是 （ C ）A在圆内 B在圆上 C在圆外 D不确定6、当时，恒成立，则实数的取值范围是 （ A ）A B C D7、已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 （） （ A ） （A） （B） （C） （D） 解析：由得，即，切线方程为，即选A(也可以不求解析式直接做出来,会更容易些!)8、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数
8、使得 对任意实数都成立，则称是一个“伴随函数” 有下列关于“伴随函数”的结论：是常数函数中唯一一个“伴随函数”；“伴随函数”至少有一个零点；是一个“伴随函数”；其中正确结论的个数是 （A ）A1个； B2个； C3个； D0个；二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分9、已知是方程的两根，则10、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为.【解析】该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，可将其补形成一个长方体，半径为，体积为. （也可直接找到球心，求出半径解决问题）11、设是公差为正数的等差数列，若等于 105 12、若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值
9、范围 （5，7） 13、已知点M是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则|AM|+|MF|的最小值为 4 14、设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为 1115、将正整数1，2，3，4，n2（n2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（ab）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1in，1jn），且满足则（1）f（3）=；（2）f（2013）=。16、（满分12分）ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足（）求角A的大小；（）求的最大值，并求取得
10、最大值时角B、C的大小解答 （）由已知，2分由余弦定理得，4分，6分（），.8分，当，取最大值，解得12分17、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC，又PA平面ABCD，PA4 PABCDQ（1）线段BC上存在点Q，使PQQD，求的取值范围；（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值。解法1：（）如图，连，由于PA平面ABCD，则由PQQD，必有 设，则，NMPABCDQ在中，有在中，有 在中，有即，即故的取值范围为 （）由（）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQQD，过Q作QMCD交AD于M，则QMADPA平面ABCD，PAQM
11、QM平面PADxyzPABCDQ过M作MNPD于N，连结NQ，则QNPDMNQ是二面角APDQ的平面角 在等腰直角三角形中，可求得，又，进而 故二面角APDQ的余弦值为 解法2：（）以为xyz轴建立如图的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4）， 设Q（t，2，0）（），则 （t，2，4），（ta，2，0） PQQD，0即故的取值范围为 （）由（）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQQD此时Q（2，2，0），D（4，0，0） 设是平面的法向量，由，得取，则是平面的一个法向量 而是平面的一个法向量， 二面角APDQ的余弦值为 18、（满分12分
12、）已知等差数列的首项，公差且分别是等比数的（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立求的值解：（1）a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d且a2、a5、a14成等比数列3分又.6分（2）即又：10分 12分19、（满分13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC（1）设ABx米，cosAf(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(第21题图）CABDl（2）求四边形ABCD面积的
13、最大值解：（1）在ABD中，由余弦定理得BD2AB2+AD22ABADcosA 同理，在CBD中，BD2CB2+CD22CBCDcosC 因为A和C互补，所以AB2+AD22ABADcosACB2+CD22CBCDcosCCB2+CD22CBCDcosA 3分即 x2+(9x)22 x(9x) cosAx2+(5x)22 x(5x) cosA解得 cosA，即f( x)其中x(2，5) 6分（2）四边形ABCD的面积S(ABAD+ CBCD)sinAx(5x)+x(9x) x(7x) 9分记g(x)(x24)( x214x49)，x(2，5)由g(x)2x( x214x49)(x24)( 2
14、x14)2(x7)(2 x27 x4)0，解得x4(x7和x舍) 11分所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108所以S的最大值为6答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2 13分20、（满分13分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足； （）求椭圆的标准方程； （）O是以F1F2为直径的圆，一直线l: y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B. 当，且满足时，求AOB面积S的取值范围.解：（） 点M是线段PF2的中点 OM是PF1F2的中位线 , 又OMF1F2 PF1F1F2椭圆的标准方程为=1 5分 （）圆O与直线l相切 由直线l与椭圆交于两个不同点，, 设，则， 解得： 8分 13分21、（满分13分）设函数在上的最大值为. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任何正整数，都有成立；（3）若数列的前之和为，证明：对任意正整数都有成立.【解析】（1）由 当时，由得或 当时，则 当时，则 当时， 而当时，当时， 故函数在处取得最大值， 即： 综上： 。6分 （2）当时，要证，即证， 而 故不等式成立. 。10分 （3）当时结论成立； 当时，由（2）的证明可知： ， 从而 。13分
