1、第1课时 平面直角坐标系1平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直的数轴构成了_，一条称为_，一条称为_，交点O称为_，如图平面直角坐标系 x轴 y轴 坐标原点 在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应的关系有序实数对(x，y)与点P相对应，_称作点P的坐标，记作P(x，y)，其中x叫做点P的_，y叫做点P的_(x，y)横坐标 纵坐标 2坐标法坐 标 法 是 在 坐 标 系 的 基 础 上，把 几 何 问 题 转 化 为_，通过代数运算研究几何图形性质的方法，是解析几何中最基本的研究方法代数问题1点P(2,3)关于y轴的对称点是()A(2,3)B(2,3)C(2，
2、3)D(2，3)【答案】B【解析】关于y轴对称的点的纵坐标没有发生变化，横坐标为原来的相反数，故为(2,3)2.平面内三点 A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)满足BAAC，则 x的值为()A3 B6 C7 D9【答案】C【解析】BA(1，1)，AC(5，x2)，BAACBAAC05(x2)0 x73.在直角坐标系中，点A(2，3)关于直线xy10对称的点是_【答案】(2,1)【解析】设点 A 关于直线 xy10 对称的点为 B(x，y)，则线段 AB 的中点为 Mx22，y32，点 M 在直线 xy10上且直线 AB 与直线 xy10 垂直，得y3x211，x22 y32 10 x2，y
3、1.4ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长度为3，则点A的轨迹方程是什么？【解析】以 BC 所在直线为 x 轴，BC的垂直平分线为 y 轴，点 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则 B(2,0)，C(2,0)，D(0,0)设点 A(x，y)，则点 A 的轨迹是以点D 为圆心，3 为半径的圆，轨迹方程为 x2y29.又 A，B，C三点构成三角形，故不能共线，所以轨迹方程为 x2y29(y0)【例1】某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m的时候，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？【解题探究】可考虑建立平面直角坐标系，求出所需
4、抛物线的方程解决问题关键是要选择合理的建系方式，使问题简单化建立平面直角坐标系解决实际问题【解析】以水平面与拱桥的截面的交线为x轴，拱顶到水平面的垂线为y轴，该交线的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(4,0)，B(4，0)，C(0,5)设抛物线方程为 yax2c，把点 A，C 坐标代入得 16ac0 且 c5，a 516y 516x25当船沿拱桥的中心方向通过时，设 D 的横坐标为2，代入得 y 51645154，即拱到水平面的高为154 m又船高 2 m，故水面上涨的余地为154 274，则水平面涨到与拱顶相距 574134 m 时，船开始不能通航本题利用坐标解决实际问题也可以按照抛
5、物线的标准位置，以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，设方程为x22py(p0)，解决问题1已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2这表明动点 M 与两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离较大，与 C1 的距离较小)，这里 a1，c3
6、，则 b28，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2y281(x0)【例 2】已知实数 x，y 满足方程 2xy8，当 2x3时，求yx的最大值和最小值建立直角坐标系解决代数问题【解题探究】可利用yx的特殊形式，将其转化为动点和坐标原点连线的斜率的范围，作出图形，从而求出其最值【解析】将yx变形为yxy0 x0，设点 P(x，y)，即通过原点的直线 OP 的斜率由x，y满足方程2xy8(2x3)，如图，可知点 P 在线段 AB 上移动且 A，B 两点的坐标分别为 A(2,4)，B(3,2)又 kOA40202，kOB203023，所以yx的最大值为 2，最小值为23 本题是利用坐标解决
7、代数问题，数形结合，既直观又简洁2已知实数x，y满足方程x2y24x10.求x2y2的最大值和最小值【解析】如图所示，方程 x2y24x10 表示以点 C(2,0)为圆心，以 3为半径的圆，圆与 x 轴交于 B，C两点，x2y2 是圆上的点与原点的距离的平方由 OB23，OC2 3，则(x2y2)max|OC|274 3，(x2y2)min|OB|274 3【例 3】已知正三角形 ABC 的边长为 a，在平面上求一点P，使PA 2PB 2PC 2 最小，并求出此最小值【解题探究】利用几何图形不易找出点P的位置，可考虑利用坐标及两点间距离公式，求出线段的距离，将其转化为代数形式的求最值问题建立直
8、角坐标系解决平面几何问题【解析】以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系，如下图，则 A0，32 a，Ba2，0，Ca2，0，设 P 点坐标为(x，y)，则PA 2PB 2PC 2x2y 32 a 2xa22y2xa22y23x23y2 3ay54a23x23y 36 a 2a2a2，当且仅当 x0，y 36 a 时，等号成立所求最小值为 a2，此时 P 点坐标为 P0，36 a，恰好是ABC 的中心本题是关于平面几何的最值问题，用平面几何的方法不易解决，用坐标法转化为代数问题较为简单3在ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)且|AB|2|AD|2|B
9、D|DC|，求证：ABC为等腰三角形【解析】作AOBC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)又db0，故bdcd，即bc，所以ABC为等腰三角形1坐标法证明问题的基本步骤(1)根据题设条件，建立适当的坐标系；(2)根据题中所给的条件，写出已知点的坐标，设出未知点的坐标；(3)根据题设条件以及几何性质，列出未知点所满足的关系式；(4)通过计算来解决问题2建立坐标系的原则(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上3解决应用题的关键建系设点(点与坐标的对应)列式(方程与坐标的对应)化简说明
