1、2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知向量（1，4），（2，m），则m（）A8B8CD2已知实数a，b满足ab，则下列关系式一定成立的是（）Aa2b2Bln（ba）0CD2a2b3下列说法正确的是（）A直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥B用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台C正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是4在ABC中，点D在BC边上，且，则（）ABCD5在ABC中，角A，B，C的对边分别为
2、a，b，c，若a1，则b（）A1B2CD1或26某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图圆柱表面上的点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从P到Q的路径中，最短路径的长度为（）ABCD17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b+c10，则SABC（）ABCD8已知等差数列an的前n项和为Sn，若a120，a11+a120，则满足Sn0的最小正整数n的值为（）A22B23C24D259我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截
3、得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）AB2CD10设a0，b0，若a+b1，则的最小值为（）A5B7C9D1111已知A，B是球O的球面上两点，P为该球面上动点，若三棱锥OPAB体积的最大值为，则球O的表面积为（）A12B16C24D3612已知数列an满足，Sn为an的前n项和，则S20（）A300B320C340D360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13求值： 14已知平面向量，满足，且与的夹角为，则
4、15在数列an中，a12，（n2，nN*），则a9 16已知ax22ax+10对xR恒成立，则a的取值范围是 三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数f（x）x2ax+b+2，aR，bR（1）若关于x的不等式f（x）0的解集为（1，2），求实数a，b的值；（2）若关于x的不等式f（x）b在x1，3上能成立，求实数a的取值范围18已知向量，若函数（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若为钝角，且，求tan的值19已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC同时满足下列4个条件中的三个：，a4，（1）指出这三个条件，
5、并说明理由；（2）求边长b和三角形的面积SABC20已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an+1Sn（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，求数列的前n项和Tn21成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道，ABCAED，BAC，BC2（km），CD4（km）注：km为千米（1）若cosCAD，求服务通道AD的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED的最长值（即AE+ED最大）（结果保留根号）22已知数列
6、an满足an+12anan+2（nN*），且a12，a416（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（2n1）an，求数列bn的前n项和Sn；（3）设cn，记数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn2参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知向量（1，4），（2，m），则m（）A8B8CD解：向量（1，4），（2，m），12+4（m）0，求得m，故选：C2已知实数a，b满足ab，则下列关系式一定成立的是（）Aa2b2Bln（ba）0CD2a2b解：A：当a4，b3时，满足ab，但a2b2，A错误，B：当a4，b3时，满足ab，但ln（ba）0，B错误，C：当a4，b3时，满足ab
7、，但，C错误，D：y2x为增函数，ab，2a2b，D正确故选：D3下列说法正确的是（）A直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥B用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台C正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是解：对于A，直角三角形绕斜边旋转一周得到的旋转体是两个圆锥的组合体，所以A错误；对于B，只有用一个平行于底面的平面截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分才是圆台，所以B错误；对于C，根据三视图画法规则知，正视图和侧视图的高相等，正视图和俯视图的长相等，所以C正确；对于D，用斜二测画法画出的正方形
8、的直观图和原来正方形的面积之比是1：，所以D错误故选：C4在ABC中，点D在BC边上，且，则（）ABCD解：如图，overrightarrowBD3overrightarrowDCoverrightarrowBDfrac34overrightarrowBCfrac34（overrightarrowACoverrightarrowAB）overrightarrowADoverrightarrowAB+overrightarrowBDoverrightarrowAB+frac34（overrightarrowACoverrightarrowAB）frac14overrightarrowAB+fra
9、c34overrightarrowAC$，故选：B5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，则b（）A1B2CD1或2解：因为a1，所以由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得1b2+32，整理可得：b23b+20，解得b2，或1故选：D6某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图圆柱表面上的点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从P到Q的路径中，最短路径的长度为（）ABCD1解：根据几何体的三视图：如图所示：由于底面周长为8，得到：2r8，解得：r，所以：点M到N在下地面上的射影的弧长为l2，所以：MN的最小值为|MN|故选
10、：B7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b+c10，则SABC（）ABCD解：因为，b+c10，所以由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得40b2+c2ab（b+c）23bc1003bc，所以bc20，所以SABCbcsinA205故选：A8已知等差数列an的前n项和为Sn，若a120，a11+a120，则满足Sn0的最小正整数n的值为（）A22B23C24D25解：由等差数列an中a120，a11+a120可知a110，根据等差数列性质S2211（a11+a12）0，S2323a120，由上面分析可知满足Sn0的最小正整数n的值为23故选：B9我国南北朝时期的数学家、
11、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）AB2CD解：因为扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体是半球去掉一个圆锥体剩余部分，则该几何体的体积为V23222故选：C10设a0，b0，若a+b1，则的最小值为（）A5B7C9D11解：a0，b0，且a+b1，（）（a+b）5+当且仅当b2a
12、，即a，b时等号成立故选：C11已知A，B是球O的球面上两点，P为该球面上动点，若三棱锥OPAB体积的最大值为，则球O的表面积为（）A12B16C24D36解：如图所示，当点P位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OPAB的体积最大，设球O的半径为R，此时VOPABVPAOB，解得R2，则球O的表面积为4R216，故选：B12已知数列an满足，Sn为an的前n项和，则S20（）A300B320C340D360解：因为，所以当n为偶数时，有an+1+an3n+1，an+2an+13n+4，an+an+26n+5，a2+a462+517；a6+a866+541，a18+a20618+5113，当n
13、为奇数时，有an+1an3n+1，an+2+an+13n+4，an+2+an3，a1+a33，a5+a73，a17+a193，a1+a3+a195315，S20a1+a2+a3+a20（a1+a3+a19）+（a2+a4+a20）325+15340故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13求值：解：tan（33+27）tan60故答案为：14已知平面向量，满足，且与的夹角为，则解：平面向量，满足，且与的夹角为，则故答案为：15在数列an中，a12，（n2，nN*），则a918解：在数列an中，a12，（n2，nN*），9，则a99218故答案为：1816已知ax22ax+10
14、对xR恒成立，则a的取值范围是a0，1）解：当a0时，ax22ax+10为10，恒成立；当a0时，由ax22ax+10对xR恒成立，得，解得0a1，综上得0a1，所以a的取值范围是0，1）故答案为：0，1）三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数f（x）x2ax+b+2，aR，bR（1）若关于x的不等式f（x）0的解集为（1，2），求实数a，b的值；（2）若关于x的不等式f（x）b在x1，3上能成立，求实数a的取值范围解：（1）因为f（x）0的解集为（1，2），所以1，2是方程x2ax+b+20的两个根；所以a1+23；b+2122；解得a3，b
15、0（2）因为x2ax+b+2b在x1，3上能成立；所以x2ax+20在x1，3上能成立；转化为axx2+2；即x1，3时，；因为（当且仅当时取“”），由于，所以a的取值范围是18已知向量，若函数（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若为钝角，且，求tan的值解：（1），f（x）的最小正周期；令，kZ，单调递增区间为：，kZ（2），；19已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC同时满足下列4个条件中的三个：，a4，（1）指出这三个条件，并说明理由；（2）求边长b和三角形的面积SABC解：（1）该三角形同时满足，理由如下：若锐角ABC同时满足，或（舍），又，这
16、与ABC为锐角三角形相矛盾，故不能同时选，必选，若选，ac，AC，0，A+C，B（A+C），与ABC为锐角三角形相矛盾，该三角形同时满足（2）由余弦定理知，化简得b28b+160，b4，20已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an+1Sn（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，求数列的前n项和Tn解：（1）an+1Sn，当n2时，anSn1，两式相减得an+12an（n2）an为从第二项开始的等比数列，a2S12，（2）当n2时，当n1时，T11，满足，综上所述：21成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，
17、根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道，ABCAED，BAC，BC2（km），CD4（km）注：km为千米（1）若cosCAD，求服务通道AD的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED的最长值（即AE+ED最大）（结果保留根号）解：（1）在ABC中，由正弦定理得：，；在ACD中，由余弦定理得CD2AD2+AC22ACADcosCAD，（2）方法一：在ADE中，由余弦定理得：，AD2AE2+ED2+AEAD，50（AE+ED）2AEAD，（当且仅当时取“”）方法二：在ADE中，设ADE1，EAD2，22已知数列an满足an+12
18、anan+2（nN*），且a12，a416（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（2n1）an，求数列bn的前n项和Sn；（3）设cn，记数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn2解：（1）由aanan+2，得，所以an是等比数列，设an的公比为q，由a12，a416，得q38，解得q2，所以an22n12n（2）由（1）可知bn（2n1）2n，所以Snb1+b2+bn121+322+（2n1）2n，所以2Sn122+323+（2n1）2n+1；得：Sn22（22+23+2n）+（2n1）2n+1，即Sn22+（2n1）2n+12+33（12n1）+（2n1）2n+16+（2n3）2n+1（3）证明：由nN+，得2n0，则3n+2n3n，所以cn（）n，所以Tnc1+c2+cn（）+（）2+（）3+（）n22（）n2
