1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 平面向量的概念及其线性运算基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.向量的实际背景，A级要求；2.平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示，B级要求；3.向量加法、减法及数乘运算，B级要求；4.两个向量共线的含义，B级要求；5.向量线性运算的性质及其几何意义，A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作 0单位向量 长度等于1个单位的向量非零向量 a 的单位向量为 a|a|基础诊断考点突破课堂总结平行向量 方向或
2、的非零向量0与任一向量或共线共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度且方向的向量0的相反向量为0续表相同相反平行相等相同相等相同基础诊断考点突破课堂总结2.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab(2)结合律：(ab)cbaa(bc)基础诊断考点突破课堂总结续表减法求a与b的相反向量b 的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向；当0 时，a 的方向与a 的方向；当 0 时，a0(
3、a)a；()a；(ab)|a|相同相反aaab基础诊断考点突破课堂总结3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得.ba基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同()(2)若 ab，bc，则 ac.()(3)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(4)若 ab，则R 使 ba.()基础诊断考点突破课堂总结2(2015扬州调研)在四边形 ABCD 中，若ACABAD，则四边形 ABCD 的形状是_答案 平行四边形解析 依题意得ABBCABAD，BCAD
4、，因此 BCAD，且 BCAD，四边形 ABCD 是平行四边形基础诊断考点突破课堂总结3(2014新课标全国卷改编)设 D，E，F 分别为ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，则EBFC_(用AD 表示)解析 设ABa，ACb，则EB12ba，FC12ab，从而EBFC12ba 12ab 12(ab)AD.答案 AD基础诊断考点突破课堂总结4(2014福建卷改编)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD _(用OM 表示)解析 OA OB OC OD(OA OC)(OB OD)2OM2OM 4OM.答案 4OM基础
5、诊断考点突破课堂总结5(苏教版必修 4P67T2 改编)已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA a，OB b，则DC _，BC_(用a，b 表示)答案 ba ab解析 如图，DC ABOB OA ba，BCOC OB OA OBab.基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac.其中正确命题的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确AB
6、DC，|AB|DC|且ABDC，又 A，B，C，D是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB|DC|，ABDC 且AB，DC 方向相同，因此，ABDC.基础诊断考点突破课堂总结正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 b0 时，a，c 可能不平行综上所述，正确命题的序号是.答案 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量
7、解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量 a 与 a|a|的关系：a|a|是与 a 同方向的单位向量基础诊断考点突破课堂总结【训练1】给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为_基础诊断考点突破课堂总结解析 错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小 错误当a0时，不论为何值，a0.错误当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量答案 3基础诊断考点突破课堂总结考点
8、二 平面向量的线性运算【例 2】(1)在ABC 中，AB 边的高为 CD，若CBa，CAb，ab0，|a|1，|b|2，则AD _(用 a，b 表示)(2)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O，ABAD AO，则 _.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)ab0，ACB90，AB 5，CD2 55，BD 55，AD4 55，ADBD41.AD 45AB45(CBCA)45a45b.(2)因为 ABCD 为平行四边形，所以ABAD AC2AO，已知ABAD AO，故 2.答案(1)45a45b(2)2基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的
9、相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，ABa，ACb，则AD _(用a，b 表示)(2)如图，D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则ADBECF_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且CD 12AB12a，所以AD ACCD b12a.(2)由题意知：AD FE，BEDF，C
10、FED，而FEED DF 0，AD BECF0.答案(1)b12a(2)0基础诊断考点突破课堂总结考点三 共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 ABab，BC2a8b，CD 3(ab)BD BCCD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD 共线，又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线基础诊断考点突破课堂总结(2)解 kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1
11、)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】已知向量 i 与 j 不共线，且ABimj，AD nij.若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 应该满足的条件是_(填序号)mn1；mn1；mn1；mn1.答案 解析 由 A，B，D 共线可设ABAD，于是有 imj(n
12、ij)nij.又 i，j 不共线，因此n1，m，即有 mn1.基础诊断考点突破课堂总结微型专题 方程思想在平面向量的线性运算中的应用数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧基础诊断考点突破课堂总结【例 4】如图所示，在ABO 中，OC 14OA，OD 12OB，AD与 BC 相交于点 M，设OA a，OB b.试用 a 和 b 表示向量OM.点拨(1)既然OM 能用 a，b 表示，那我们不妨设出OM manb.(2)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.基础诊
13、断考点突破课堂总结解 设OM manb，则AM OM OA manba(m1)anb.AD OD OA 12OB OA a12b.又A，M，D 三点共线，AM 与AD 共线存在实数 t，使得AM tAD，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.基础诊断考点突破课堂总结 m1t，nt2，消去 t 得 m12n，即 m2n1.又CM OM OC manb14am14 anb，CBOB OC b14a14ab.又C，M，B 三点共线，CM 与CB共线存在实数 t1，使得CM t1CB，基础诊断考点突破课堂总结m14 anbt114ab，m1414t1，nt1，消去 t1 得 4mn1
14、.由得 m17，n37，OM 17a37b.基础诊断考点突破课堂总结点评(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)如本题易忽视A，M，D三点共线和B，M，C三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会基础诊断考点突破课堂总结思想方法1向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论2对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合3要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置基础诊断考点突破课堂总结易错防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误
