1、第二节 太阳与行星间的引力第三节 万有引力定律 1能利用开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间的引力表达式。2了解万有引力定律得出的过程和思路。3理解万有引力定律内容、含义及适用条件。4认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题。01课前自主学习 1.太阳与行星间的引力(1)模型简化：行星以太阳为圆心做运动。太阳对行星的引力，就等于行星做运动的向心力。01 匀速圆周02 匀速圆周(2)太阳与行星间的引力规律2万有引力定律(1)月地检验猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“”的规律。推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大
2、约是它在地面附近下落时的加速度的 。结论：地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 (填“相同”或“不同”)的规律。09 平方反比10 160211 相同(2)万有引力定律内容：自然界中任何两个物体都相互，引力的方向在它们的上，引力的大小与物体的质量m1和m2的成正比、与它们之间距离r的成反比。公式：F。引力常量：上式中G叫，大小为6.671011，它是由英国物理学家在实验室里首先测出的。12 吸引13 连线14 乘积15 二次方16 Gm1m2r217 引力常量18 Nm2/kg219 卡文迪许判一判(1)行星绕太阳的运动不需要力的作用。()(2)匀速圆周运动的
3、规律同样适用于行星运动。()(3)太阳与行星间作用力的公式FGMmr2也适用于行星与它的卫星之间。()提示：(1)行星绕太阳的运动可看做匀速圆周运动，和其他做匀速圆周运动的物体一样需要向心力。(2)匀速圆周运动的规律同样适用行星所做的匀速圆周运动。(3)卫星绕行星的运动同样满足Fnm v2r 和开普勒第三定律，所以公式FGMmr2 也适用于行星与它的卫星之间。提示 02课堂探究评价 课堂任务 太阳与行星间的引力仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：甲图的意思是什么？提示：由于行星轨道的半长轴和半短轴大小差不多，中学里就把行星的椭圆运动简化为圆周运动处理。进行处理后，半长轴就变成了半径
4、。提示 活动2：图乙表明了什么？提示：行星做圆周运动需要向心力，行星与太阳间有相互作用力，太阳对行星的引力提供行星运动的向心力。提示 活动3：向心力与哪些因素有关？行星需要的向心力与它的质量有关吗？也与太阳的质量有关吗？提示：由Fm v2r 或Fm2r可知，向心力与做圆周运动物体的质量、线速度、角速度、周期、轨道半径等有关系。行星既然做圆周运动，它的向心力也应该与这些因素有关系，自然跟它的质量有关。行星的向心力是太阳对行星的引力，它与行星对太阳的引力是一对相互作用力，这个引力既然与行星的质量有关，也应该与太阳的质量有关。提示 活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)两个理想化模型将行星绕太阳
5、的椭圆运动看成匀速圆周运动。由于天体间的距离很远，将天体看成质点，即质量集中在球心上。(2)推导过程太阳对行星的引力 太阳与行星间的引力(3)太阳与行星间的引力的特点太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。(4)公式FGMmr2 的适用范围我们在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，所得出的结论只适用于行星与太阳之间的力。例1 两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，如果它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为()A11 B
6、m1r1m2r2Cm1r2m2r1Dr22r21(1)太阳与行星间引力的公式是什么？提示：FGMmr2。提示 (2)行星的向心加速度怎么求？提示：行星只受到太阳对它的引力而做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可知，其向心加速度为aFm。提示 规范解答 由太阳与行星之间引力的关系可知，两个行星受到的引力都可以表示为FG Mmr2。由于只受引力，即引力提供向心力，由牛顿第二定律可得a Fm GMr2，所以向心加速度之比为轨道半径平方的反比，D正确。完美答案 D答案 对于太阳周围的行星，它们的向心加速度与轨道半径的平方成反比。变式训练1 (多选)根据开普勒关于行星运动的规律、圆周运动的知识和牛顿第三定律可
7、知，太阳对行星的引力F mr2，行星对太阳的引力FMr2，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是()A由FMr2和Fmr2，得FFmMBF和F大小相等，是作用力与反作用力CF和F大小相等，是同一个力D太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力答案 BD答案 解析 F和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，A、C错误，B正确；太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故D正确。解析 课堂任务 万有引力定律仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：忽略空气阻力，下落的苹果受什么力？绕地球转的月球受什么力？施力物体是什么？提示：都只受到地
8、球的引力，施力物体都是地球。提示 活动2：由此可以提出什么猜想？提示：将苹果受到的重力向月球轨道延伸，我们可以猜想到苹果和月球受到地球的力是同一种力。提示 活动3：如何验证上述猜想是否正确？提示：假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1602。根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度(月球公转的向心加速度)也就应该大约是它在地面附近下落时的加速度(自由落体加速度)的 1602。根据图中数据，由向
9、心提示 加速度公式有：a月2r42T2 r，即a月 43.1422.3610623.84108 m/s22.72103 m/s2。地球表面重力加速度g一般取9.8 m/s2，a月g 2.72103 m/s29.8 m/s2 13600 1602，即月球轨道处的向心加速度约是地面附近自由落体加速度的 1602，这说明猜想是正确的。提示 活动4：由上述结论可以进行什么样的合理推广？提示：地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，并且都与太阳对行星的力和加速度遵循同样的规律F 1r2，a 1r2，可以联想任意两个物体间都有引力，且都遵循这个规律，只是身边物体的质量比天体质量小得多，不易察觉。提
10、示 活动5：讨论、交流、展示，得出结论。(1)万有引力定律FG m1m2r2，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出。测定G值的意义：证明了万有引力定律的存在；使万有引力定律有了真正的实用价值。(2)万有引力的特点普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨
11、大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用(3)应用万有引力定律的注意事项在以下三种情况下可以直接使用公式FGm1m2r2 计算：a求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离。b求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离。c一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力：r指质点到球心的距离。对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据FG m1m2r2得出r0时F的结论，违背公式的物理含义。例2 关于万有引力定律的数学表达式FG m1m2r2，下列说法中正确的是()A
12、公式中G为引力常量，是人为规定的B当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大Cm1、m2受到的万有引力总是大小相等，是一对作用力与反作用力Dm1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力(1)FGm1m2r2 中各字母的含义：G：_，由实验测得r：_，m1、m2：_提示：引力常量 两质点间距离 两质点的质量提示 (2)作用力与反作用力和平衡力的区别？提示：作用力和反作用力是同一性质的力，作用于不同物体；平衡力性质可不同，但必须作用于同一物体。提示 规范解答 万有引力定律的数学表达式中的引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，选项A错误；使用公式FG m1m2r2时，若两物体可以看成
13、质点，则r为两质点间的距离，当r趋于零时，两物体不能看成质点，不能直接用万有引力的公式来计算，选项B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，分别作用在相互作用的两个物体上，不是平衡力，所以选项C正确，D错误。完美答案 C答案 应用万有引力注意事项(1)理解万有引力定律的内容和适用范围。(2)知道万有引力不是什么特殊的一种力，它同样满足牛顿运动定律。(3)明确公式中各物理量的含义及公式的使用方法。变式训练2(多选)下列说法正确的是()A万有引力定律FGm1m2r2 适用于两质点间的作用力计算B据FGm1m2r2，当r0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大C把质量为m的小球放在质量为M
14、、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力FGMmR2D两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用FGm1m2r2 计算，r是两球体球心间的距离答案 AD答案 解析 万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力，故A、D两项正确；当r0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B项错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m的引力合力为零，故C项错误。解析 例3 如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为()AGm1m2r2B
15、Gm1m2r21CG m1m2r1r22DGm1m2r1r2r2(1)两球能被看成质点吗？提示：从题图看球的半径和两球间的距离可知不能把两球看成质点。提示 (2)对于两个不能看成质点的物体，怎么计算它们间的万有引力？提示：对于两个质量分布均匀的球体，它们之间的万有引力可以用FGm1m2R2求解，其中R为两球心间的距离；对于两个不能看成质点的一般物体，不能直接用万有引力公式求解。提示 规范解答 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为Gm1m2r1r2r2，故选D。完美答案 D答案 任何两个物体间都存在着万有引力，在计算两个不能看成质点的物体间的万有引力时，
16、若两个物体是质量分布均匀的球体，在应用万有引力公式计算时，r为两球心间的距离。变式训练3 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为 12 R、球心为O的球体，且O、O与质点m位于同一直线上，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为()A.7GMm36R2 B.7GMm8R2 C.GMm18R2 D.7GMm32R2答案 A答案 解析 质量为M的球体对质点m的万有引力F1G Mm2R2GMm4R2，挖去的球体的质量M43R2343R3 MM8，质量为M的球体对质点m的万有引力F2G MmRR22 G Mm18R2，则剩余部分对质点m的万
17、有引力FF1F2G Mm4R2 G Mm18R27GMm36R2，故A正确。(注意这种解题方式：填补法。只有把挖去的小球补上才成为质量均匀的球体。)解析 课堂任务 万有引力与重力的关系仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：F、F向、mg各表示什么意思？提示：F表示物体受到的地球的吸引力，F向是物体随地球一起自转所需要的向心力，mg是物体受到的重力。提示 活动2：F、F向、mg的关系是怎样的？提示：由图能看出F向、mg是F的两个分力，也就是说物体受到的重力并不等于物体受到地球的吸引力。提示 活动3：有重力和万有引力相等的位置吗？提示：有。在南北两极，F向0，引力和重力就相等。提示 活动
18、4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)万有引力和重力的关系如图，地球对物体的万有引力FGMmR2 可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mgG MmR2，重力的方向可能偏离地心。(2)重力与纬度的关系地面上物体的重力随纬度的升高而变大。在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。赤道上：重力和向心力在一条直线上FFnmg，即G MmR2 m2rmg，所以mgG MmR2m2r。地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的
19、转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的。两极处：因为向心力为零，所以mgFG MmR2，故物体在两极处的重力是最大的。(3)重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mgG MmR2。若距离地面的高度为h，则mgGMmRh2(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)，可得gGMRh2 R2Rh2 g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。例4 一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的高度为地球半径的(地球表面重力加速度g10
20、m/s2)()A2倍 B3倍 C4倍 D一半(1)何为“视重”？提示：视重即为物体受到竖直向上的支持力或拉力。(2)物体重力与物体离地面高度的关系？提示：mgG MmRh2。提示 规范解答 设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的竖直向上的支持力或拉力F，物体受到的重力为mg，g是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得Fmgma其中mG0g，代入式得mgFG0g a916105 N1 N在距离地面h处，物体的重力为1 N，物体的重力等于万有引力。答案 在地球表面：mgGMmR2地 在距地面h高处：mgGMmR地h2与相除可得 mgmgR地h2R2地，所以R地hmgmg
21、R地161 R地4R地所以h3R地，故选B。完美答案 B答案 变式训练4 某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以ag2的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1220 N。已知地球半径R6400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2求解过程中可能用到19181.03，21201.02。问：(1)该位置处的重力加速度g是地面处重力加速度g的多少倍？(2)该位置距地球表面的高度h为多大？答案(1)2021(2)128 km答案 解析(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有Gmg，在
22、h高度处对宇航员受力分析，应用牛顿第二定律有Fmgma，则mgFma800 N，得gg mgmg 2021。(2)根据万有引力公式，在地面处有GMmR2 mg，在h高度处有G MmRh2mg解以上两式得hgg1 R0.02R128 km。解析 03课后课时作业 A组：合格性水平训练1(行星运动向心力来源)如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，那么下列说法中正确的是()A行星受到太阳的引力，引力提供行星做圆周运动的向心力B行星受到太阳的引力，行星运动不需要向心力C行星同时受到太阳的万有引力和向心力D行星受到太阳的引力与它运动的向心力不相等答案 A答案 解析 行星受到太阳的引力，引力提供行星做圆周运
23、动的向心力，A正确，B错误；向心力是效果力，实际受力分析时不分析向心力，行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力来源于太阳的引力，所以行星受到太阳的引力与它运行的向心力相等，C、D错误。解析 2(太阳与行星间的引力)(多选)对于太阳与行星间的引力表达式FGMmr2，下列说法正确的是()A公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关BM、m彼此受到的引力总是大小相等CM、m彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，M和m都处于平衡状态DM、m彼此受到的引力是一对作用力与反作用力答案 ABD答案 解析 太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力与反作用力，大小相等，不能进
24、行合成，故B、D正确，C错误；公式中的G为比例系数，与太阳、行星均没有关系，A正确。解析 3(万有引力定律的理解)(多选)下列关于万有引力的说法，正确的有()A物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力B万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的C地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力DFGm1m2r2 中，G是一个比例常数，没有单位答案 BC答案 解析 物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，A错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，B正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力
25、都是地球的万有引力，C正确；国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律FGm1m2r2，得到G的单位是Nm2/kg2，D错误。解析 4(万有引力定律的理解)关于万有引力公式FG m1m2r2，下列说法中正确的是()A当两个物体之间的距离趋近于零时，F趋于无穷大B只要两个物体是球体，就可用此式求解万有引力C两只相距0.5 m的小狗之间的万有引力可用此式计算D任何两个物体间都存在万有引力答案 D答案 解析 当两个物体之间的距离趋近于零时，物体不能看成质点，就不能直接用FG m1m2r2来计算万有引力，所以距离很近时，不能用此公式推出F趋于无穷大，A错误；球体间
26、只有质量分布均匀时，才能用公式FG m1m2r2求解万有引力，B错误；两只小狗相距0.5 m时，它们之间的距离与它们的尺寸相差不多，故不能看成质点，不可以用FG m1m2r2求它们之间的万有引力，C错误；由万有引力定律知D正确。解析 5(万有引力定律的理解)要使两物体间的万有引力减小到原来的 14，下列办法不正确的是()A使两物体的质量各减小一半，距离不变B使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变C使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变D两物体的质量和距离都减小到原来的14答案 D答案 解析 万有引力定律的表达式为FG m1m2r2，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变
27、，则万有引力变为原来的 14，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变，则万有引力变为原来的14，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的14，C正确；两物体的质量和距离都减小到原来的14，则万有引力大小不变，D错误。解析 6(重力加速度的理解)火星的质量和半径分别约为地球的 110 和 12，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为()A0.2g B0.4g C2.5g D5g答案 B答案 解析 在星球表面近似有mgG MmR2，设火星表面的重力加速度为g火，则g火g M火M地R地R火20.4，故B正确。解析 7(重力加速度与高度的关
28、系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g2，则该处距地球表面的高度为()A(21)RBRC.2RD2R答案 A答案 解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，该处距地面的高度为h，分别列式G MmR2 mg，GMmRh2 m g2，联立得2R2(Rh)2，解得h(21)R，A正确。解析 8(万有引力定律的应用)设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为()A零B无穷大CGMmR2D无法确定答案 A答案 解析 设想把物体放到地球的中心，此时FGMmr2 已不适用，但地球的各部分对物体的
29、吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力的合力是零，故应选A。解析 9(万有引力定律的应用)地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为()A19 B91 C110 D101答案 C答案 解析 设月球质量为m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，则地球质量为81m，当飞行器距月球的距离为r时，月球对它的引力等于地球对它的引力，则G mm0r2 G 81mm0rr2，所以 rrr9，r10r，rr110，故C正确。解析 B组：等级性水平训练10(万有引力定律的应用)两个完全相同的实心
30、小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为()A2F B4F C8F D16F答案 D答案 解析 两个小铁球之间的万有引力为FG m22r2。实心小铁球的质量为mV 43 r3，大铁球的半径r是小铁球的2倍，则大铁球的质量m与小铁球的质量m之比为 mm r3r3 81。故两个大铁球间的万有引力为FG m22r216F，故选D。解析 11.(万有引力定律的应用)如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且rR2，则原球体剩余部分对质点P的万
31、有引力变为()A.F2 B.F8 C.7F8 D.F4答案 C答案 解析 利用填补法来分析此题。原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为 R2 的球体的质量为原来球体的质量的 18，其他条件不变，所以挖去的球体对质点P的万有引力为F8，故剩余部分对质点P的万有引力为FF8 7F8，C正确。解析 12(万有引力定律的应用)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质点，假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列选项中的四个F随x的变
32、化关系图正确的是()答案 A答案 解析 由题意可知，物体在地球内部距离球心x(xR)的位置时，外面球壳对其引力为0，内部以x为半径的球体对物体的引力为FGMmx2 G43x3mx243Gmx，Fx，图象为过原点的倾斜直线；当xR时，地球对物体的引力为FGMmx2G43R3mx2，F 1x2，图象为随x增大而减小的曲线，故A正确。解析 13.(重力与高度的关系)如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面发射后，以加速度g2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为发射前压力的 1718。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。(g为地面附近的重力加速度)答案 R2答案 解析 火箭上升过程中，测试仪器受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g，根据牛顿第三定律及平衡条件可知，高h处测试仪器受到的支持力为FN1718mg，由牛顿第二定律得FNmgmg2，解得g49g，由万有引力定律知：G MmRh2mg，GMmR2 mg，联立解得hR2。解析 本课结束
