1、 5“”5|0,1,2,3,41.(2011).201113301234“”“0?.kkknk nkabab ZZZ 在整数集 中,被 除所得余数为的所有整数组成一个 类,记为,即,给出如下四个结论:;整数,属于同一 类 的充要条件是。其中正确的命题是福建卷 20112010140251135225|55500ababknk nankbmknmabnm Z,正确;由可知不正确;根据题意信息可知正确;若整数,属于同一类,不妨设,则,为整数,正确,故解析:正确+().ABCDEFPCDEAPABAFR 如图正六边形中,是内 包括边界的动点,设、,则的取值范围是2.1(03)33131,0()(13
2、)()222233032 30333()()2222ABEBCDFxyCDExyyAPABAFPM:如图,建系设,则,区域方,解析:法,1,区域33022303332 3022223323,4,解得,故abM3(1)=1(2)=(3)=22 (2)图;图;图选 点的三个特方:殊位置法P()3,4是内 包括边界 的动点,故PCDE 3.331051234212 nnnnnN nnNNSNNNNNNS当 为正整数时,函数表示 的最大奇因数,如,设,则 111210122121135212462 4(1)114444142.3nnnnnnnnnnnNnN nNnnSNNNNSSnSNS 因为 为正整
3、数时,所以,所以又解,所以析:*2.1,2,30,1,21.4.(201)0mnnnnmanmannnanaNN若数列满足:对任意的,只有有限个正整数 使得 成立,记这样的 的个数为,则得到一个新数列例如,若数列是,则数列是,已知对任意的,则湖南卷*12345*678910*1112131415*16123*24011122222333333314916.naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaan因为;,;,;,;所以,猜想解,:,析()5.(2011)()xyxykbykxb在平面直角坐标系中,如果 与都是整数,就称点,为整点,下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线,
4、既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果安与 都是无徽卷理数,则直线不经过任何整点llykxbkb直线 经过无穷多个整点,当且仅当 经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充要条件是:与 都是有理数存在恰经过一个整点的直线122()22211,0yxxyxykbyxll 正确,设,当 是整数时,是无理数,必不是整点不正确,设,则直线过整点正确,直线 经过无穷多个整点,则直线 必然经过两个不同整点,显解析:然成立;111222211211121211()()()lP xyP xylxxyyyyxxxxk xxkxyk yyylZZ反之成立,设直线 经过两个整点,则 的方程为,令,则,且也是整数,故
5、经过无穷多个整点111222211211211 22 1122121()()lP xyP xylxxyyyyxxykxbyyy xy xxxyxkxxxx不正确,由知直线 经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为,则 的方程为,因为直线方程为的形式,所以,所以,所以,1133344334211,0.byxxyyxykbykxbyxQZZQ,反之不成立,如,则,若,则,即,得不到经过无穷个整点正确,直线只过整点故填 11310032 1(20102520)10nnnnadbqbnSabdSabq已知数列是以 为公差的等差数列,数列是以 为公比的等比数列若例1盐城一模数列的前 项和
6、为,且,求整数 的值;12321(2)3()()nkkrsrtnnbbbppNpbabaabatsrsrtrba在的条件下,试问数列中是否存在一项,使得 恰好可以表示为该数列中连续,项的和?请说明理由;若,其中,且是的约数,求证:数列中每一项都是数列中的项 23n对于,由特殊到一般,探究数不具备此性质利用反证法证明;对于,巧妙逆用等比数列分:的前析项和310032123100321232221520105201042006201043013.2.nnnanbqSabbbbabbbbqqqqq 由题意知,所以由,得,解得又 为整数,所以解析:(2)假设数列bn中存在一项bk,满足bk=bm+bm
7、+1+bm+2+bm+p-1,因为bn=2n,所以bkbm+p-12k2m+p-1km+p-1km+p.()又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+bm+p-1=2m+2m+1+2m+p-1=2m+p-2m2m+p,所以ksr,且(s-r)是(t-r)的约数,所以q是整数,且q2;对于数列bn中任一项bi(不妨设i3),有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)=ar+ar(q-1)(1+q+q2+qi-2)=ar+d(s-r)(1+q+q2+qi-2)由于(s-r)(1+q+q2+qi-2)是正整数,所以bi一定是数列an中的项变式1 从数列an中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一
8、个数列,称之为数列an的一个子数列设数列an是一个首项为a1、公差为d(d0)的无穷等差数列(1)若a1,a2,a5成等比数列,求其公比q.(2)若a1=7d,从数列an中取出第2项、第6项作一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为an的无穷等比子数列,请说明理由(3)若a1=1,从数列an中取出第1项、第m(m2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、第2项求证:当t为大于1的正整数时,该数列为an的无穷等比子数列 222151112121142.0231.aa aada adda dddaqaa由题设,得,即,得又,于是,故其解析:公比 6211213238()26.21mmmm
9、nmnabqaba qdaandndba设等比数列为,其公比,由题设假设数列为的无穷等比子数列,*115 1*(3)3368()8()62236958()622nmmmnm mnandmabdnn NN则对任意自然数,都存在,使,即,得,当时,与假设矛盾故该数列不为的无,穷等比子数列 11123111111111111 111(1)11311 本题即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项在等比数列中,在等差数列中,若 为数列中的第 项,则由,得,整理得,由,均为正整数,得 也故无穷等比数为正整数,列rnrrrmnnrrnrkrrrrbabbtaattadanmmmtbakbatkmtkmtt
10、tmttmbk 中的每一项均为数列中的项,得证na 1sin(0)2ln()abcf xf af bf cf xf xxg xx xh xx xMM 如果对任意一个三角形,只要它的三边长,都在函数的定义域内,就有,也是某个三角形的三边长,则称为“保三角形函数”判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论:;,若函数,是保三角形函数,求的例2最小值(2010 江苏南通)22“”(1)()=()=sin(0).()22().f xxg xx xf xxabcabcbcacabf aaf bbf ccabaabbcabcaccbcacabf af bf c从 保三角形函数 入手,推导证明是保三
11、角形函数,不是保三角形函数是保三角形函数对任意一个三角形的三边长,则,因为,所以同理可以证明:,所以、也解析:是某个三角 f xx故是保三形的三边长,角形函数 sin(0)5 5(0)26651sin1sin262sin(0),不是保三角形函数取,显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长而,不能作为一个三角形的三边长,不是保三角形函数所以.g xxg xx xx 2.()2ln()lnlnln.22111lnlnln2lnln.lnlnlnl1nMMh xx xMabcMabcbcacabh aah bbh ccababcabababcabcabcbcac 方法:的最小值为首先证明当时,函数,
12、是保三角形函数对任意一个三角形三边长,且,则,因为,所以,所以,所以,即同理可证明,lnln.lnlnlnln()2)h xx xMMababc 所以,是一个三角形的三边长故函数,是保三角形函数 2222202ln()02)022lnln2lnlnlnln(lnln2ln()其次证明当 时,不是保三角形函数当 时,取三个数,因为 ,所以,所以,是某个三角形的三条边长,而,所以,不能为某个三角形的三边长,所以不是保三角形函数所以,当 时,不是保三角形Mh xx xMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMh xxMh xx xM.2函数综上所述:的最小值为M .lnlnl2nlnlnlnln.l
13、n01112l.nxbcMxbcxbcf xxxbcxbxbcxbcxccbcxbbMf xx 不妨设三角形的三边为,其中,则有若是保三角形函数,则,是某个三角形的三边长,且有,有因所以有当时是保三角形函数为,方法2:2222202)022lnln2lnln2.lnlnlnlnMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMh xMx 下面考虑的情况,取三个数,因为 ,所以,所以,是某个三角形的三条边长,而,所以,不能为某个三角形的三边长,所以不是保三角形函数的最小以综上有值为所变式2.定义:如果数列an的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称an为“三角形”数列对于“三角形”数列an,如果函数
14、y=f(x)使得bn=f(an)仍为一个“三角形”数列,则称y=f(x)是数列an的“保三角形函数”(nN*)(1)已 知 an 是 首 项 为 2,公 差 为 1 的 等 差 数 列,若f(x)=kx(k1)是数列an的“保三角形函数”,求k的取值范围;(2)已知数列cn的首项为2010,Sn是数列cn的前n项和,且满足4Sn+1-3Sn=8040,证明cn是“三角形”数列;(3)若g(x)=lgx是(2)中数列cn的“保三角形函数”,问数列cn最多有多少项 1212121211115.25121()xnnnnnnnnnnnnnnnanaaaakf af af af af afkf xkak
15、kakk显然,对任意正整数都成立,即是三角形数列因为,显然有,由所以当,时,是数列的“保三得,解角形析得解:函数”1111112112143804043804034302010().4438040.332010()2010()442132010()1642“”由,得,两式相减得,所以,经检验,此通项公式满足显然因为,所以是 三角数列形nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSSSScccSSccccccc 12lglglg333lg20102 lglg20101 lglg20103 lg4443lg2010lg263.2644nnnnng ccccnnnnnb因为是单调递减函数,所以,由,得,
16、化简得,解得,即数列最多有项定义信息型创新题对定义进行提取和化归转化 是解题的关键;探究性创新题解答时应抓住有限 的或隐含的题设条件,通过联想创造性的知识,设计解决问题的方法,化归与转化思想是解决探 究性创新题的常用方法;拓展推广型创新题应根 据题目的特点确定推广的方向,然后将已知条件 中的数学对象推广为所要拓展的对象(2010湖南卷)(本小题满分14分)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 km的A,B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10km的区域.(1)
17、求考察区域边界曲线的方程;(2)如图所示,设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 km,以后每年移动的距离为前一年的2倍问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?22()1021(4)1.(6)2052423.()159PxyPAPBPAayBxb设边界曲线上点 的坐标为,则由知,点 在以,为焦点,长轴长为的椭圆上此时短半轴长所以考察区域边界曲线 如图 的方分程为解:分析 12122(8)(9)(13)43470.|1647|31.54230.2 21315.2 15(2514)易知过点,的直线方程为因此点 到直线的距离为设经过 年,分分分经过 年,点 恰好在冰川边界线上 分点 恰好在冰川边界线上,则利用等比数列求和公式可得,解得即nPPxyAPPdnAAn 此题立意新颖,但只要熟练的掌握椭圆的定义,点到直线的距离公式,利用等比数列求和公式,本题很容易求解.