1、 5“”5|0,1,2,3,41.(2011).201113301234“”“0?.kkknk nkabab ZZZ 在整数集 中，被 除所得余数为的所有整数组成一个 类，记为，即，给出如下四个结论：；整数，属于同一 类 的充要条件是。其中正确的命题是福建卷 20112010140251135225|55500ababknk nankbmknmabnm Z，正确；由可知不正确；根据题意信息可知正确；若整数，属于同一类，不妨设，则，为整数，正确，故解析：正确+().ABCDEFPCDEAPABAFR 如图正六边形中，是内 包括边界的动点，设、，则的取值范围是2.1(03)33131,0()(13
2、)()222233032 30333()()2222ABEBCDFxyCDExyyAPABAFPM:如图，建系设，则，区域方，解析：法，1，区域33022303332 3022223323,4，解得，故abM3(1)=1(2)=(3)=22 (2)图；图；图选 点的三个特方：殊位置法P()3,4是内 包括边界 的动点，故PCDE 3.331051234212 nnnnnN nnNNSNNNNNNS当 为正整数时，函数表示 的最大奇因数，如，设，则 111210122121135212462 4(1)114444142.3nnnnnnnnnnnNnN nNnnSNNNNSSnSNS 因为 为正整
3、数时，所以，所以又解，所以析：*2.1,2,30,1,21.4.(201)0mnnnnmanmannnanaNN若数列满足：对任意的，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是，已知对任意的，则湖南卷*12345*678910*1112131415*16123*24011122222333333314916.naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaan因为；，；，；，；所以，猜想解，：，析()5.(2011)()xyxykbykxb在平面直角坐标系中，如果 与都是整数，就称点，为整点，下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线，
4、既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果安与 都是无徽卷理数，则直线不经过任何整点llykxbkb直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充要条件是：与 都是有理数存在恰经过一个整点的直线122()22211,0yxxyxykbyxll 正确，设，当 是整数时，是无理数，必不是整点不正确，设，则直线过整点正确，直线 经过无穷多个整点，则直线 必然经过两个不同整点，显解析：然成立；111222211211121211()()()lP xyP xylxxyyyyxxxxk xxkxyk yyylZZ反之成立，设直线 经过两个整点，则 的方程为，令，则，且也是整数，故
5、经过无穷多个整点111222211211211 22 1122121()()lP xyP xylxxyyyyxxykxbyyy xy xxxyxkxxxx不正确，由知直线 经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点，设为，则 的方程为，因为直线方程为的形式，所以，所以，所以，1133344334211,0.byxxyyxykbykxbyxQZZQ，反之不成立，如，则，若，则，即，得不到经过无穷个整点正确，直线只过整点故填 11310032 1(20102520)10nnnnadbqbnSabdSabq已知数列是以 为公差的等差数列，数列是以 为公比的等比数列若例1盐城一模数列的前 项和
6、为，且，求整数 的值；12321(2)3()()nkkrsrtnnbbbppNpbabaabatsrsrtrba在的条件下，试问数列中是否存在一项，使得 恰好可以表示为该数列中连续，项的和？请说明理由；若，其中，且是的约数，求证：数列中每一项都是数列中的项 23n对于，由特殊到一般，探究数不具备此性质利用反证法证明；对于，巧妙逆用等比数列分：的前析项和310032123100321232221520105201042006201043013.2.nnnanbqSabbbbabbbbqqqqq 由题意知，所以由，得，解得又 为整数，所以解析：(2)假设数列bn中存在一项bk，满足bk=bm+bm
7、+1+bm+2+bm+p-1，因为bn=2n，所以bkbm+p-12k2m+p-1km+p-1km+p.()又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+bm+p-1=2m+2m+1+2m+p-1=2m+p-2m2m+p，所以ksr，且(s-r)是(t-r)的约数，所以q是整数，且q2；对于数列bn中任一项bi(不妨设i3)，有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)=ar+ar(q-1)(1+q+q2+qi-2)=ar+d(s-r)(1+q+q2+qi-2)由于(s-r)(1+q+q2+qi-2)是正整数，所以bi一定是数列an中的项变式1 从数列an中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一
8、个数列，称之为数列an的一个子数列设数列an是一个首项为a1、公差为d(d0)的无穷等差数列(1)若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q.(2)若a1=7d，从数列an中取出第2项、第6项作一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为an的无穷等比子数列，请说明理由(3)若a1=1，从数列an中取出第1项、第m(m2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、第2项求证：当t为大于1的正整数时，该数列为an的无穷等比子数列 222151112121142.0231.aa aada adda dddaqaa由题设，得，即，得又，于是，故其解析：公比 6211213238()26.21mmmm
9、nmnabqaba qdaandndba设等比数列为，其公比，由题设假设数列为的无穷等比子数列，*115 1*(3)3368()8()62236958()622nmmmnm mnandmabdnn NN则对任意自然数，都存在，使，即，得，当时，与假设矛盾故该数列不为的无，穷等比子数列 11123111111111111 111(1)11311 本题即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项在等比数列中，在等差数列中，若 为数列中的第 项，则由，得，整理得，由，均为正整数，得 也故无穷等比数为正整数，列rnrrrmnnrrnrkrrrrbabbtaattadanmmmtbakbatkmtkmtt
10、tmttmbk 中的每一项均为数列中的项，得证na 1sin(0)2ln()abcf xf af bf cf xf xxg xx xh xx xMM 如果对任意一个三角形，只要它的三边长，都在函数的定义域内，就有，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：；，若函数，是保三角形函数，求的例2最小值(2010 江苏南通)22“”(1)()=()=sin(0).()22().f xxg xx xf xxabcabcbcacabf aaf bbf ccabaabbcabcaccbcacabf af bf c从 保三角形函数 入手，推导证明是保三
11、角形函数，不是保三角形函数是保三角形函数对任意一个三角形的三边长，则，因为，所以同理可以证明：，所以、也解析：是某个三角 f xx故是保三形的三边长，角形函数 sin(0)5 5(0)26651sin1sin262sin(0)，不是保三角形函数取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长而，不能作为一个三角形的三边长，不是保三角形函数所以.g xxg xx xx 2.()2ln()lnlnln.22111lnlnln2lnln.lnlnlnl1nMMh xx xMabcMabcbcacabh aah bbh ccababcabababcabcabcbcac 方法：的最小值为首先证明当时，函数，
12、是保三角形函数对任意一个三角形三边长，且，则，因为，所以，所以，所以，即同理可证明，lnln.lnlnlnln()2)h xx xMMababc 所以，是一个三角形的三边长故函数，是保三角形函数 2222202ln()02)022lnln2lnlnlnln(lnln2ln()其次证明当 时，不是保三角形函数当 时，取三个数，因为 ，所以，所以，是某个三角形的三条边长，而，所以，不能为某个三角形的三边长，所以不是保三角形函数所以，当 时，不是保三角形Mh xx xMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMh xxMh xx xM.2函数综上所述：的最小值为M .lnlnl2nlnlnlnln.l
13、n01112l.nxbcMxbcxbcf xxxbcxbxbcxbcxccbcxbbMf xx 不妨设三角形的三边为，其中，则有若是保三角形函数，则，是某个三角形的三边长，且有，有因所以有当时是保三角形函数为，方法2：2222202)022lnln2lnln2.lnlnlnlnMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMh xMx 下面考虑的情况，取三个数，因为 ，所以，所以，是某个三角形的三条边长，而，所以，不能为某个三角形的三边长，所以不是保三角形函数的最小以综上有值为所变式2.定义：如果数列an的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称an为“三角形”数列对于“三角形”数列an，如果函数
14、y=f(x)使得bn=f(an)仍为一个“三角形”数列，则称y=f(x)是数列an的“保三角形函数”(nN*)(1)已 知 an 是 首 项 为 2，公 差 为 1 的 等 差 数 列，若f(x)=kx(k1)是数列an的“保三角形函数”，求k的取值范围；(2)已知数列cn的首项为2010，Sn是数列cn的前n项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明cn是“三角形”数列；(3)若g(x)=lgx是(2)中数列cn的“保三角形函数”，问数列cn最多有多少项 1212121211115.25121()xnnnnnnnnnnnnnnnanaaaakf af af af af afkf xkak
15、kakk显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列因为，显然有，由所以当，时，是数列的“保三得，解角形析得解：函数”1111112112143804043804034302010().4438040.332010()2010()442132010()1642“”由，得，两式相减得，所以，经检验，此通项公式满足显然因为，所以是 三角数列形nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSSSScccSSccccccc 12lglglg333lg20102 lglg20101 lglg20103 lg4443lg2010lg263.2644nnnnng ccccnnnnnb因为是单调递减函数，所以，由，得，
16、化简得，解得，即数列最多有项定义信息型创新题对定义进行提取和化归转化 是解题的关键；探究性创新题解答时应抓住有限 的或隐含的题设条件，通过联想创造性的知识，设计解决问题的方法，化归与转化思想是解决探 究性创新题的常用方法；拓展推广型创新题应根 据题目的特点确定推广的方向，然后将已知条件 中的数学对象推广为所要拓展的对象(2010湖南卷)(本小题满分14分)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)考察范围为到A，B两点的距离之和不超过10km的区域.(1)
17、求考察区域边界曲线的方程；(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？22()1021(4)1.(6)2052423.()159PxyPAPBPAayBxb设边界曲线上点 的坐标为，则由知，点 在以，为焦点，长轴长为的椭圆上此时短半轴长所以考察区域边界曲线 如图 的方分程为解：分析 12122(8)(9)(13)43470.|1647|31.54230.2 21315.2 15(2514)易知过点，的直线方程为因此点 到直线的距离为设经过 年，分分分经过 年，点 恰好在冰川边界线上 分点 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得，解得即nPPxyAPPdnAAn 此题立意新颖，但只要熟练的掌握椭圆的定义，点到直线的距离公式，利用等比数列求和公式，本题很容易求解.