1、雅安市高中2018级第三次诊断性考试数学(理科)试题(本试卷满分150分,答题时间120分钟)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名。考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上;非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸。试题卷上答题无效。3.考试结束后,将答题卡收回。一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。1.若复数z满足z(12i)3i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为A.1i B.
2、1i C.1i D.1i2.设集合Ay|y2x1,xR,Bx|x210,则ABA.1,1) B.(1,1) C.(1,1 D.1,13.已知sin(),则cos(2)A. B. C. D.4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶(我国南宋时期的数学家,四川人)算法的一个实例,若输入n,x的值分别为3,4,则输出v的值为A.25 B.100 C.400 D.65.已知变量x,y之间的线性回归方程为0.7x10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示:则下列说法错误的是A.变量x,y之间呈负相关关系 B.可以预测,当x30时,10.7C.m4 D.该回归直线必过点(9,4)6.在多项式(x1)
3、(2x1)4的展开式中,含x2项的系数为A.32 B.32 C.16 D.167.已知定义在区间(0,)上的函数f(x)2x2m,g(x)3lnxx,若以上两函数的图像有公共点,且在公共点处切线相同,则m的值为A.2 B.5 C.1 D.08.函数ya3x(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在双曲线(m0,n0)上,则mn的最大值为A.6 B.4 C.2 D.19.已知函数f(x)2sin(x)(A0,0,|0)的焦点为F,点A、B为抛物线上的两个动点,且AFB60,过弦AB的中点M作拋物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为A. B. C.2 D.112.设k0,若存在正实数x,使得不
4、等式log4xk2kx10成立,则k的最大值为A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)将答案填在答题卡相应的横线上。13.在平面直角坐标系下,若x,y满足约束条件,则其可行域的面积为 。14.在ABC中,已知向量(1,3),(2,t),|1,则角B的余弦值为 。15.已知圆C:(x2)2y21及点A(0,2),点P、Q分别是直线xy0和圆C上的动点,则|PA|PQ|的最小值为 。16.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下命题:异面直线C1P与B1C所成的角不为定值; 二面角PBC1D的大小为定值;三棱锥DBPC1的
5、体积为定值; 平面A1CP平面DBC1。其中真命题的序号为 。三。解答题(本大题共6小题,共70分)解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等比数列an的公比为q(q1),前n项和为Sn,S314,且3a2是2a3与4a1的等差中项。(1)求an的通项公式;(2)设bn,bn的前n项和为Tn,证明:Tn。18.(12分)成雅高速铁路(又称成雅高铁)是川藏铁路的重要组成部分,于2018年12月顺利通车,它的开通改变了成都到雅安没有直达铁路的历史,在出行人群中越来越受欢迎。现交通部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计,得知在40岁及以下的旅客中采用乘坐成雅
6、高铁出行的占。(1)请完成22列联表,并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐成雅高铁出行与年龄有关”?(2)为提升服务质量,铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法选取5人免费到雅安参加座谈会,会后再进行抽奖活动,奖品共三份。由于年龄差异,规定40岁及以下的旅客若中奖每人得800元,40岁以上的旅客若中奖每人得1000元,设旅客抽奖所得的总金额为X元,求X的分布列与数学期望E(X)。参考公式:,nabcd,参考数据如表:19.(12分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,PA底面ABCD,PCD90,PAABAC1。(1)求证:ACCD;(2)点E在棱PC上,满足D
7、AE60,求二面角BAED的余弦值。20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,且过点P(0,1)。(1)求椭圆C的标准方程;(2)过定点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,已知点N(4,),设直线AN、BN的斜率分别为k1、k2,判断k1k2是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由。21.(12分)已知函数f(x)lnx,g(x)ax1(aR)。(1)若方程f(x)g(x)0存在两个不等的实根,求a的取值范围。(2)设函数h(x)f(x)g(x),x1,x2是函数h(x)的两个零点,证明:h(x1x2)0),1分转化为函数T(x)与直线ya在(0,)上有两个不同交点,2分T(x)
8、(x0),故当x(0,1)时,T(x)0;当x(1,)时,T(x)0,故T(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,4分所以T(x)maxT(1)1.又T0,故当x时,T(x)0. 5分可得a(0,1)6分另解:则:,1分当时,恒成立,不满足题意;3分当时,单调递减,则,当5分综上:6分(2)证明:h(x)a, 因为x1,x2是ln xax10的两个根,故ln x1ax110,ln x2ax210a,.8分要证h(x1x2)1,即证ln x1ln x20,即证(ax11)(ax21)0,即只需证明 a成立,即证.9分不妨设0x1x2,故ln 0,则h(t)在(0,1)上单调递增,则(
9、t) (1)0,故(*)式成立,即要证不等式得证12分22. 解 :(1)直线l的直角坐标方程为:2分曲线C的极坐标方程为:,即,化为直角坐标方程:.将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,得到曲线:. 5分(2)直线的极坐标方程为,展开可得:.可得直角坐标方程:.可得参数方程:(为参数). 7分代入曲线的直角坐标方程可得:.解得,.10分23.解:(1)或解出或无解, 所以,原不等式的解集为0,15分另解:(1)当时,等价于,则或无解综上,原不等式的解集为0,15分(2)当时,因为,所以恒成立,即恒成立,所以满足的解集为;而,当时,当时,作出的图像如上图所示,要使的解集为,则需或,解得或;综上可得:a的取值范围是. 10 分