1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质内 容 标 准学 科 素 养1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数2.理解二项式系数的性质并灵活运用.利用直观想象提升数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质知识梳理 1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是，与这两个 1 等距离的项的系数(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即 .1 相等和Ckn1Ck1n Ckn2二项式系数的性质性质内容对称性CmnCnmn，即二项展开式中，与首末两端“”的两个相
2、等如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大增减性与最大值如果 n 为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值等距离二项式系数性质内容二项展开式中各二项式系数的和等于，即 C0nC1nC2nCnn各二项式系数的和 奇数项的二项式系数之和等于项的二项式系数之和，都等于 2n1，即 C1nC3nC5nC2nC4nC6n2n2n2n1偶数自我检测1AC0nC2nC4n与 BC1nC3nC5n的大小关系是()AAB BABCABD不确定2利用杨辉三角，将(ab)7 展开为_答案：B答案：a77a6b21a5b235a4b335a3b421a2b57ab6b7
3、3在(ab)8的展开式中，二项式系数最大的项为_，在(ab)9的展开式中，二项式系数最大的项为_答案：70a4b4 126a5b4 与 126a4b5探究一 与杨辉三角有关的问题例 1 如图在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n 项和为 Sn，求 S19 的值解析 由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211.S19(C12C22)(C13C23)(C14C24)(C110C21
4、0)C211C23C24C25C211C211C33C23C24C25C2111C211C3121C211274.方法技巧 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪探究 1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 23.第 0 行 1第 1 行 1 1第 2 行 1 2 1第 3 行 1 3 3 1第 4 行 1 4 6 4 1第 5 行 1 5 10 10 5 1 解析：设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 23，则 C13n C14n 23.3C13n 2C14n，即3n！13！n13！2n！14！n14！，得：3n13 21
5、4，n34.答案：34探究二 二项展开式的系数和问题阅读教材 P34 例 3试证：在(ab)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和题型：求二项展开式中某些项的系数的和方法步骤：(1)将(ab)n 展开可以看出，令 a1，b1，得到 C0nC1nC2nCnn的值(2)再令 a1，b1，得到 C0nC1nC2nC3n(1)nCnn的值，从而得到 C0nC2nC6nC1nC3nC5n的值例 2 设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)(1)求 a0a1a2a2 018 的值(2)求 a1a3a5a2 017 的值(3)求|a0|a1|a2|a
6、2 018|的值解析(1)令 x1，得a0a1a2a2 018(1)2 0181.(2)令 x1，得 a0a1a2a2 01832 018.得 2(a1a3a2 017)132 018，a1a3a5a2 017132 0182.(3)Tr1Cr2 018(2x)r(1)rCr2 018(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2 018|a0a1a2a3a2 01832 018.方法技巧 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(axb
7、y)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可(2)一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f12.跟踪探究 2.设(2 3x)100a0a1xa2x2a100 x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2.解析：(1)由(2 3x)100 展开式中的常数项为 C01002100，即 a02100(或令 x0，则展开式可化为 a02100)(2)令
8、 x1，可得 a0a1a2a100(2 3)100，故 a1a2a100(2 3)1002100.(3)令 x1，可得 a0a1a2a3a100(2 3)100，与联立相减可得a1a3a992 31002 31002.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2 3)100(2 3)1001.探究三 求二项展开式中系数或二项式系数最大的项阅读教材 P35 练习 1(1)(ab)n 的各二项式系数的最大值是_解析：当 n 为偶数时，各二项式系数的最大值是.当 n 为奇数时，各二项式系数的
9、最大值是.答案：n 为偶数时，n 为奇数时，或例 3 已知(12x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解析 T6C5n(2x)5，T7C6n(2x)6，依题意有 C5n25C6n26，解得 n8.在(12x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5C48(2x)41 120 x4.设第 k1 项的系数最大，则有Ck82kCk182k1，Ck82kCk182k1，解得 5k6.k5 或 k6(k0,1,2，8)系数最大的项为 T61 792x5，T71 792x6.方法技巧 1.求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n 中
10、的 n进行讨论，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a、bR 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 r1 项系数最大，应用ArAr1，ArAr1解出 r 来，即得系数最大的项跟踪探究 3.已知x 2x2 n 的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大(1)求该展开式中所有有理项的个数；(2)求该展开式中系数最大的项解析：(1)由题意可知n216，n10.Tr1Cr10 x10r22rx2rCr102rx105r2
11、(0r10，且 rN)，要求该展开式中的有理项，只需令105r2Z.r0,2,4,6,8,10.有理项的个数为 6.(2)设第 Tr1项的系数最大，则Cr102rCr110 2r1，Cr102rCr110 2r1，即2r111r，110r 2r1，解不等式组得193 r223.rN，r7.展开式中系数最大的项为 T8C71027x252 15 360 x252.课后小结(1)二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出(2)求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为 0,1 或1，但在解决具体问题时要灵活掌握(3)
12、注意以下两点：区分开二项式系数与项的系数求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中 r0,1,2，n的范围素养培优1.混淆各项的二项式系数和与各项的系数和致错在(12x)7 的展开式中，各项的二项式系数和为_；各项的系数和为_；各项系数的绝对值之和为_易错分析：混淆了展开式中各项的二项式系数之和与各项系数之和，产生错误的结果考查数学抽象、数学运算的学科素养自我纠正：各项的二项式系数和为 27128；令 x1，则得各项的系数和为(12)71；令 x1，则得各项系数的绝对值之和为(12)72 187.答案：128 1 2 1872混淆奇(偶)数项系数与奇(偶)次项系数致错(1x)6 的展开式中，x 的奇次项系数之和是()A32 B32C0 D64易错分析：混淆了展开式中奇数项系数与奇次项系数，导致求出错误的结果，考查数学抽象及数学运算的学科素养自我纠正：(1x)6C06C16xC26x2C66x6，奇次项系数之和为C16C36C5632，故选 B.答案：B04课时 跟踪训练
