1、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解应用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题的方法 _()._.1_2_ 3_1._ 已知两个非零向量 和，它们的夹角为，我们把数量叫做 与 的数量积 或内积，记作 _ 规定：零向量与任一向量的数量积为向量的数量积满足的运算向律：；量数的；量积abab_.数量积的性质：1122()().2 3_.xyxyaba babab 若，则_ 向向量 在 上的投影为 两个向量、垂直的充分必要条件是 _量数量_积的坐标运_定理_ 算212121212cos|cos0()()()0a ba ba ba bb aa ba babab ca cb ca eaaa ba
2、babx xy ya bbx xy y；南】指【要点11121314151.(2011重庆卷)已知向量 a(1，k)，b(2,2)，且 ab与 a 共线，那么 ab 的值为()A1B2C3D4【解析】ab(3，k2)，因为 ab 与 a 共线k23kk1，即 a(1,1)，所以 ab12124.2.已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 上的投影为()A.655B.135C.13D.65【解析】|a|cos|a|ab|a|b|ab|b|24374272 1365 655.3.(2012广州一模)在平面上给定非零向量 e1，e2满足|e1|3，|e2|2，e1，e2 的夹角为 60，则
3、|2e13e2|的值为 6.【解析】由题意 e1e2|e1|e2|cos6023123.所以|2e13e2|4e2112e1e29e22 4912394 3636366.4.(2011新课标卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则 k 1.【解析】因为|a|b|1.又 ab 与 kab 垂直，则(ab)(kab)0ka2abkabb20(k1)(k1)ab0(k1)(ab1)0.又因为 a，b 为不共线的单位向量，则a，b0且a，b180，所以 ab11cosa，b(1,1)，故 ab10.所以 k10k1.5.a(3，1)，b(1,2)，则满足
4、 xa9，xb4的向量 x(2，3).【解 析】设 x (m，n)，由xa9xb4，得3mn9m2n4，解得m2n3，所以 x(2，3)一 数量积的运算及模长【例 1】(1)(2011福建卷)已知向量 a(1,1)，b(1,2)，则 ab_；(2)已知|a|3，|b|4，a 与 b 的夹角为4，求(3a2b)(a2b)与|ab|.【分析】利用向量数量积的坐标式或定义及运算律求解，求|ab|可先求(ab)2，再开方【解析】(1)ab1(1)12211.(2)ab|a|b|cos434 22 6 2，a2|a|29，b2|b|216，所以(3a2b)(a2b)3a28ab4b23986 26491
5、48 2.因为|ab|2(ab)2a22abb2926 2162512 2，所以|ab|2512 2.【点评】(1)向量的数量积有两种计算方法：()根据数量积的定义，ab|a|b|cos()根据向量坐标，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y2.(2)利用数量积求模长是重点，方法如下：若 a(x，y)，则|a|x2y2；|a|2a2aa；|ab|2(ab)2a22abb2.已知|a|3，|b|2.(1)若 a 与 b 的夹角为 150，求|a2b|；(2)若(ab)与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角的大小素材1【解析】(1)因为|a2b|2(a2b)2a24ab4b2|a
6、|24|a|b|cos1504|b|2(3)24 32(32)4227，所以|a2b|7.(2)因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，所以 aba2，所以a，b ab|a|b|a|2|a|b|32.因为 0a，b180，所以a，b30.二 求平面向量夹角【例 2】已知|a|1，ab12，(ab)(ab)12.(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求 ab 与 ab 的夹角的余弦值【分析】(1)由(ab)和(ab)的数量积可得出|a|，|b|的关系，再求夹角余弦值(2)先分别求出 ab 与 ab 的模【解析】(1)因为(ab)(ab)12，所以|a|2|b|212，又因为|a|1，所以|b|a
7、|212 22，设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|121 22 22，又因为 0，所以 4.(2)因为(ab)2a22abb212121212，所以|ab|22；又(ab)2a22abb212121252，所以|ab|102，设 ab 与 ab 的夹角为，则 cosabab|ab|ab|1222 102 55.所以|ab|102，设 ab 与 ab 的夹角为，则 cosabab|ab|ab|1222 102 55.【点评】(1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角，需求出 ab 和|a|，|b|或直接得到 ab 与|a|b|的关系；若 a，b 是坐标形式，则直接
8、用公式 cosx1x2y1y2x21y21 x22y22.(2)注意夹角的范围 0，a(1,2)，b(1，k)，a 与 b 的夹角为.分别确定实数 k 的取值范围，使得：(1)为直角；(2)为钝角；(3)为锐角素材2【解析】因为 a(1,2)，b(1，k)，所以|a|5，|b|1k2，ab12k，所以 cos ab|a|b|12k51k2.(1)为直角，即 12k0，解得 k12.(2)为钝角，由 cos0 且 cos1，得 12k0，解得 k0 且 cos1，得12k012k51k21，解得 k12且 k2.三两向量垂直问题【例 3】(1)(2012邳州市宿羊山)已知向量 a(3,1)，b(
9、1，12)，若向量 ab 与向量 a 垂直，则实数 的值为_(2)(2012银川一中)已知向量 a 与向量 b 的夹角为120，若向量 cab，且 ac，则|a|b|的值为_【分析】(1)由(ab)a0，建立方程即可；(2)由 ac0，从而得到|a|b|的比值【解析】(1)因为 ab(3，12)，a(3,1)，所以(ab)a(3)3(12)104，即 4 时，向量 ab 向量 a 垂直(2)由 acac0a(ab)0a2ab0，即|a|2|a|b|cos1200|a|212|b|a|，即|a|b|12.【点评】已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab0|ab|ab|x1x2y
10、1y20.设两个向量 e1，e2 满足|e1|2，|e2|1，e1 与 e2 的夹角为3，若向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围素材3【分析】由公式 cos ab|a|b|可得，若为钝角，则 cos0，即 ab0，从而可求出 的取值范围，同时要注意共线反向，即 这一情况【解析】由向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为钝角，得2te17e2e1te2|2te17e2|e1te2|0，即(2te17e2)(e1te2)0，即 2te217te22(72t2)e1e20，亦即 2t47t(72t2)21120，化简即得 2t215t70，解得7t12，当
11、夹角为 时，也有(2te17e2)(e1te2)0，应排除，但此时夹角不是钝角，2te17e2 与 e1te2 反向 设 2te17e2(e1te2)，0，可求得2t7t0，所以 14t 142.所以所求实数 t 的取值范围是(7，142)(142，12)【点评】(1)本题中，当(2te17e2)(e1te2)0 时，也包括了向量 2te17e2 与 e1te2 夹角为，即方向相反的情况，应排除这种情况(2)公式 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22可求 a，b 的夹角或夹角的取值范围，应用时，要注意 ycosx 在 x0，上的单调性 备选例题平面内有向量OA(1,
12、7)，OB(5,1)，OP(2,1)，点X 为直线 OP 上的一个动点(1)当XAXB取最小值时，求OX 的坐标；(2)当点 X 满足(1)的条件和结论时，求 cosAXB 的值【分析】因为点 X 在直线 OP 上，向量OX 与OP 共线，可以得到关于OX 坐标的一个关系式，再根据XAXB的最小值，求得OX 的坐标，而 cosAXB 是XA与XB夹角的余弦，利用数量积的知识易解决【解析】(1)设OX(x，y)因为点 X 在直线 OP 上，所以向量OX 与OP 共线又OP(2,1)，所以 x2y0，即 x2y.所以OX(2y，y)又XAOA OX，OA(1,7)，所以XA(12y,7y)同样XB
13、OB OX(52y,1y)于是XAXB(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.所以当 y2 时，XAXB有最小值8，此时OX(4,2)(2)当OX(4,2)，即 y2 时，有XA(3,5)，XB(1，1)，所以|XA|34，|XB|2，所以 cosAXB XAXB|XA|XB|4 1717.【点评】(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数而(2)中即为数量积定义的应用()()(0 )10a b ca b ca ba cbca b ab0本讲是平面向量这一单元的重要内容，要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律、消去律；或，但满足交换律和分配律12122222 2cosx xy yxyaba ba baa公式；的关系非常密切，必须能够灵活综合运用12211212/5034/0 x yx yx xy ya bab通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直与要区分清楚由于向量有多种表达形式，又向量的各种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知识解决有关问题时往往有多种方法其中坐标法是最常用，最重要的一种方法
