1、1.2 排列与组合1.2.1 排列第一课时 排列与排列数公式内 容 标 准学 科 素 养1.了解排列的概念2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.应用数学抽象发展逻辑推理及数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 排列的定义预习教材P1416，思考并完成以下问题在 1.1 节的例 9 中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？(1)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动，
2、有多少种不同的选法？提示：根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 326 种 (2)从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？提示：根据分步乘法计数原理，从 1,2,3,4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有 43224 种不同的排法，因而共可得到 24 个不同的三位数.知识梳理 1.排列的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列2
3、.排列数的定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示一定的顺序知识点二 排列数公式预习教材P1620，思考并完成以下问题从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数 A2n是多少？A3n，Amn(mn)又各是多少？提示：求排列数 A2n可以这样考虑：假定有排好顺序的两个空位如图，从 n 个元素a1，a2，an 中任意取 2 个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样一种填法得到因此，所有不同填法的种数就是排列数 A2n.第一位第二位n种 n1种根据分步乘法计数
4、原理，2 个空位的填法种数为 A2nn(n1)同理，求排列数 A3n可以按依次填 3 个空位来考虑，有 A3nn(n1)(n2)求排列数 Amn可以按依次填 m个空位来考虑：第 1位第 2位第 3位第 m位 n种 n1种 n2种 nm1种根据分步乘法计数原理，全部填满 m 个空位共有 n(n1)(n2)n(m1)种填法 知识梳理 乘积式 Amn排列数公式阶乘式Amn 性质Ann备注n，mN*，mnn(n1)(n2)(nm1)n！nm！n！自我检测1从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题()A1 B3C2 D4
5、答案：C2从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B甲乙，丙乙，丙甲C甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D甲乙，甲丙，乙丙答案：C探究一 排列的概念阅读教材 P20 练习 1写出：(1)从 4 个不同元素中任取 2 个元素的所有排列；(2)从 5 个不同元素中任取 2 个元素的所有排列解析：(1)设 4 个不同的元素分别是 A、B、C、D，则从 4 个不同元素中取出 2 个元素所有排列为 AB、BA、AC、CA、AD、DA、BC、CB、BD、DB、CD、DC.(2)设 5 个不同元素分别为 A、B、C、D、E，则从 5 个不同元素中取出 2 个元素所有排列为 A
6、B、BA、AC、CA、AD、DA、AE、EA、BC、CB、BD、DB、BE、EB、CD、DC、CE、EC、DE、ED.例 1 判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；(3)选 2 个小组去种菜；(4)选 10 人组成一个学习小组；(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班 40 名学生在假期相互通信解析(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题
7、，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题方法技巧 确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序跟踪探究 1.判断下列问题是否为排列问题(1)会场有 50 个座位，
8、要求选出 3 个座位；若选出 3 个座位安排三位客人(2)从集合 M1,2，9中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x轴上的椭圆方程x2a2y2b21？可以得到多少个焦点在 x轴上的双曲线方程x2a2y2b21?(3)平面上有 5 个点，其中任意三个点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解析：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题若方程x2a2y2b21 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 ab，a，b 的大小关系一定；在双曲线x2a
9、2y2b21 中，不管 ab还是 ab，方程x2a2y2b21 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题探究二 排列数公式的应用阅读教材 P20 练习 4求证：(1)AmnnAm1n1；(2)A888A777A66A77.证明：(1)Amnn！nm！nAm1n1nn1！nm！nn1！nm！n！nm！AmnnAm1n1等式成立(2)A888A777A668！87！76!8！8！7！7！A77.等式成立例 2(1)计算 A315和 A66.(2)用排列数表示(55n)(56n)(69n)(nN*且 n55)；(3)求证 Amn1A
10、mnmAm1n.解析(1)A3151514132 730，A66654321720.(2)55n,56n，69n 中的最大数为 69n，且共有(69n)(55n)115(个)数，(55n)(56n)(69n)A1569n.(3)证明：Amn1Amnn1！n1m！n！nm！n！nm！n1n1m1n！nm！mn1mmn！n1m！mAm1n，Amn1AmnmAm1n.方法技巧 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当 m 较小时的含排列数的方程和不等式问题2排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算跟踪探究 2.计算2A587A
11、48A88A59.解析：2A587A48A88A59 287654787658765432198765 87658787652491.3证明：An1n1AnnnAnn，并用此结论计算 A112A223A338A88.证明：An1n1Ann(n1)！n!(n1)n！n！nn！nAnn.A112A223A338A88(A22A11)(A33A22)(A88A77)(A99A88)A99A119！1362 879.探究三 排列的简单应用阅读教材 P18 例 2某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？题型：排列和排列数公式的应用方法
12、步骤：(1)一场比赛就是两个队的一个排列(2)从 14 个元素中任取 2 个元素共有 A214个排列，因此共进行 A214场比赛例 3 用排列数表示下列问题(1)从 100 个两两互质的数中取出 2 个数，其商的个数；(2)有 4 名大学生可以到 5 家单位实习，若每家单位至多招 1 名新员工，每名大学生至多到 1 家单位实习，且这 4 名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数；(3)由 0,1,2,3 组成的能被 5 整除且没有重复数字的四位数的个数解析(1)从 100 个两两互质的数中取出 2 个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为 A2100.(2)可以理解为从 5 家单位中选出 4
13、家单位，分别把 4 名大学生安排到 4 家单位，其排列数为 A45.(3)因为组成的没有重复数字的四位数能被 5 整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为 A33.方法技巧 首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题跟踪探究 4.从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？解析：一个两位数就是两个数字的一个排列因此，共有 A2412 个排列答案：125写出 A，B，C，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法解析：所有可能的站法是 BACD，BADC，BCAD
14、，BDAC,CABD,CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.课后小结(1)排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准(2)排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用素养培优1.盲目地套用公式致误在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为()AA34 B43C34D12易错分析：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选 A.没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式致误考查数学建模的学
15、科素养自我纠正：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有 3 种选取方法，由乘法原理共有 333334(种)，故选 C.答案：C2遗漏某些情况出错用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1 000 大的奇数共有()A36 个B48 个C66 个D72 个易错分析：只考虑了四位数的情况，而比 1 000 大的奇数还可能是五位数自我纠正：四位的奇数如图，最后一位只能是 1 或 3 有两种取法，1,3又因为第 1 位不能是 0，在最后一位取定后只有 3 种取法，剩下 3 个数排中间两个位置有 A23种排法，共有 23A2336(个)任一个五位的奇数都符合要求，共有 23A3336(个)，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和为 72，故选 D.答案：D3忽视隐含条件致误不等式 Ax86Ax28的解集为_易错分析：没有正确理解 Ax28中隐含 0 x28 致误考查数学运算自我纠正：由 Ax86Ax28，得8！8x！68！10 x！，化简得 x219x840，即 7x12.又8x0 x28，2x8.又xN*，x8.答案：804课时 跟踪训练
