1、5离散型随机变量的均值与方差第一课时离散型随机变量的均值授课提示：对应学生用书第41页自主梳理一、离散型随机变量的均值(或数学期望)1定义若离散型随机变量X的概率分布为：Xx1x2xnPp1p2pn则定义X的均值为_X的均值也称作X的_(简称_)，它是一个数，记作EX.2意义：刻画离散型随机变量取值的“_”二、二项分布与超几何分布的均值当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其均值为_；当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX_.三、离散型随机变量的性质若ab，其中a，b为常数，则P(axib)_，E(ab)_.特别地：(1)a0时，Eb_，(2)当a1时，E(b)_.双基
2、自测1已知随机变量X的分布列为：X101P则X的均值是()A.BC. D2若随机变量B(n,0.6)，且E3，则P(1)的值是()A20.44 B20.45C30.44 D30.643设随机变量X的分布列为P(Xk)Ck300k(k0,1,2，300)，则EX_.自主梳理一、1.x1p1x2p2xnpn数学期望期望2.中心位置二、npn三、P(xi)aEbbEb双基自测1BEX(1)01.2CB(n,0.6)，E3，0.6n3，即n5.故P(1)C0.6(10.6)430.44.3100由P(Xk)Ck300k，可知XB，EX300100.授课提示：对应学生用书第42页探究一离散型随机变量的均
3、值例1已知随机变量X的分布列如下：X21012Pm(1)求EX；(2)若Y2X3，写出随机变量Y的分布列并求EY.解析(1)由随机变量分布列的性质，得m1，所以m，EX(2)(1)012.(2)解法一由公式E(aXb)aEXb，得EYE(2X3)2EX32()3.解法二由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311PEY(7)(5)(3)(1)1.求均值的方法和技巧求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解对于aXb型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aXb的分布列，再用定义求解1设随机变量X服从分布P(Xk)，k1,2,3,4,5，求E
4、(X2)2.解析：EX123453.EX212232425211.E(X2)2E(X24X4)EX24EX41112427.探究二二项分布及超几何分布的均值例2某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E_(结果用最简分数表示)解析解法一由题意知随机变量服从参数为N7，M2，n2的超几何分布的可能取值为0,1,2.因此P(0)，P(1)，P(2)，故的分布列为：k012P(k)从而数学期望E012.解法二随机变量服从参数为N7，M2，n2的超几何分布，直接代入超几何分布均值的计算公式可得En2.答案超几何分布和二项分布是两种
5、特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接有规律地写出分布列，求出期望值2“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列及其期望解析：(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，
6、石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P.(2)X的可能取值分别为0,1,2,3.P(X0)C()3，P(X1)C()1()2，P(X2)C()2()1，P(X3)C()3.X的分布列如下：X0123PEX01231(或XB(3，)，EXnp31)探究三均值的实际应用例3现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的
7、概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.解析(1)P()2C.(2)X0,1,2,3,4,5，P(X0)()2；P(X1)()2；P(X2)C；P(X3)C；P(X4)()2；P(X5)()2.X的分布列为：X012345PEX012345.3两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解析：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙
8、得X2分，则概率分布分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根据均值公式得EX110.420.130.52.1；EX210.120.630.32.2.EX2EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大计算均值时因写错分布列致误典例一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，则剩余子弹数目X的期望为_解析X的可能取值为3,2,1,0，P(X3)0.6；P(X2)0.40.60.24；P(X1)0.420.60.096；P(X0)0.430.064；所以EX30.620.2410.09600.0642.376.答案2.37
9、6错因与防范1.解答本题易得期望值为2.28或2.4的错误结论，错因是审题不细，导致在解此题时误认为是求“命中子弹数目X的期望”而不是剩余子弹数目的期望，或根本没有注意到条件“直到第一次命中为止”2防范措施：(1)注意题设信息的提取合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读(2)注意知识间的辨析二项分布的特征是事件的相互独立性，彼此之间无任何制约关系，而本例中条件“直到第一次命中为止”说明了随机变量并非服从二项分布体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标(例如前3次都未投中等情形)，则停止投篮同学甲投篮命中率为，且每次投篮互不影响(1)求同学甲恰好投4次达标的概率；(2)设测试中甲投篮次数记为X，求X的分布列及数学期望EX.解析：(1)甲同学恰好投4次达标的概率PC()3.(2)X可能的取值是3,4,5.P(X3)()3()3，P(X5)C()2()2，P(X4)1.X的分布列为：X345P所以X的数学期望为EX345.
