1、第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6.2函数的极值课后篇巩固提升必备知识基础练1.设a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为()A.(-1,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-,-1)和(1,+)答案A解析令f(x)=3x2-3a=0,得x=a,令f(x)0,得xa或x-a;令f(x)0,得-ax0)的极大值为6,极小值为2,f(a)=2,f(-a)=6,即aa-3aa+b=2且-aa+3aa+b=6,得a=1,b=4,f(x)=3x2-3.由f(x)0,得-1x0,解得x1或x-32,令f(x)0,解得-32x1,故f(x)在-,-32内单调递增,在-32,1内
2、单调递减,在(1,+)内单调递增,故x=-32是极大值点,x=1是极小值点.6.函数y=xex在其极值点处的切线方程为.答案y=-1e解析令y=ex+xex=(1+x)ex=0,得x=-1,y=-1e,在极值点处的切线方程为y=-1e.7.设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,0x2,则函数f(x)的极大值为,极小值为.答案+232解析因为f(x)=sinx-cosx+x+1,0x2,所以f(x)=1+2sinx+4,0x2,所以由f(x)=0,得sinx+4=-22,且0x2,所以x=或32.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,),323232,2f(x)+0-0+f(
3、x)+232由上表知,f(x)的极大值为+2,极小值为32.8.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为.答案-5解析函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,且f(x)=(x2+c)+(x-2)2x,f(2)=0,(c+4)+(2-2)4=0,c=-4,f(x)=(x2-4)+(x-2)2x.函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为f(1)=(1-4)+(1-2)2=-5.9.已知函数f(x)=ex(4x+4)-x2-4x,求:(1)f(x)的单调区间;(2)f(x)的极大值.解(1)f(x)=ex(4x+4)+4ex
4、-2x-4=4ex(x+2)-2(x+2)=(x+2)(4ex-2),令f(x)=0,解得x=-2或x=ln12,显然-2ln12.当xln12时,f(x)0,f(x)为增函数,所以f(x)的单调递增区间为(-,-2),ln12,+;当-2xln12时,f(x)0,f(x)为减函数,所以f(x)的单调递减区间为-2,ln12.(2)由(1)知,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=-4e-2-4+8=4-4e-2.关键能力提升练10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值
5、f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)答案D解析由函数的图象可知,f(-2)=0,f(2)=0,并且当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0,故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).11.若函数y=x2ex在区间(1-a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值范围是()A.(3,+)B.(1,+)C.(-1,+)D.(-3,+)答案A解析f(x)=2xex+x2ex=x(2+x)ex,函数f(x)=x2ex在区间(1-a,a+1)上存在极
6、值点,f(x)=0在区间(1-a,a+1)上有解,令f(x)=0,解得x=0或-2,易知x=0或x=-2是函数f(x)的极值点,1-a0a+1,或1-a-23,实数a的取值范围为(3,+).故选A.12.函数f(x)=2sin x-x(x0)的所有极大值点从小到大排成数列an,设Sn是数列an的前n项和,则cos S2 021=()A.1B.12C.-12D.0答案B解析f(x)=2cosx-1(x0),f(x)是周期为2的周期函数,令f(x)=0,则cosx=12,在区间(0,2上,x=3,53,作出f(x)的图象:可得f(x)在(0,2上的极大值点为x=3,所以an是首项为a1=3,公差为
7、d=2的等差数列,所以S2021=20213+2021202022,所以cosS2021=cos20213+2021202022=cos-20213=cos-674+3=cos3=12.故选B.13.若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a0)存在两个极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围是()A.(-,16B.(-,16)C.(16,+)D.16,+)答案B解析因为函数f(x)=x3-3ax2+12x(a0)存在两个极值点x1,x2,所以f(x)=3x2-6ax+12=3(x2-2ax+4)=0的两个不相等的根为x1,x2,则=4a2-160且a0,解得a2,x1+x2=2a
8、,x1x2=4,所以f(x1)+f(x2)=x13+x23-3a(x12+x22)+12(x1+x2)=(x1+x2)(x1+x2)2-3x1x2-3a(x1+x2)2-2x1x2+12(x1+x2)=2a(4a2-12)-3a(4a2-8)+24a=-4a3+24a(a2),令h(a)=-4a3+24a(a2),则h(a)=-12a2+240,即h(a)在(2,+)内单调递减,所以h(a)-1),当-1x0,当1x3时,f(x)3时,f(x)0,f(x)在(-1,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,在(3,+)内单调递增,故x=3是f(x)的极小值点,故A正确,B错误,C正确;由单调性可
9、知f(3)f(2)1,解得a1).(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)的极大值点和极小值点分别为x1,x2,试判断方程f(x1)-f(x2)=4是否有解?若有解,求出相应的实数a;若无解,请说明理由.解(1)当a=e时,f(x)=ex+1-e-x-(e+1)x,f(x)=ex+1+e-x-(e+1)=e2x+1+1-(e+1)exex=(ex+1-1)(ex-1)ex,当x(-,-1),x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(-1,0)时,f(x)1,-lna0,当x0时,f(x)0,f(x)单调递增,当-lnax0时,f(x)1),则g(x)=lnx+1
10、x-1,令u(x)=g(x),则u(x)=x-1x20,u(x)在(1,+)上为增函数,即g(x)=u(x)u(1)=0,g(x)在(1,+)上为增函数,方程g(x)=4在(1,+)上至多有一个实数解,又g(e2)=2-2e2+2(e2+1)=4,即方程f(x1)-f(x2)=4有解,实数a=e2.学科素养创新练17.坐标平面内,由A,B,C,D四点所决定的“贝茨曲线”指的是次数不超过3的多项式函数的图象,过A,D两点,且在点A处的切线经过点B,在点D处的切线经过点C.若曲线y=f(x)是由A(0,0),B(1,4),C(3,2),D(4,0)四点所决定的“贝茨曲线”,试回答下列问题:(1)求
11、函数f(x)的解析式;(2)求证:函数g(x)=8f(x)+(12-3a)x2-35x+5a(a0)总存在两个极值点x1,x2,且当g(x1)+g(x2)0时,a的最小值为1.(1)解f(x)的图象过点A(0,0),D(4,0),f(x)有两个零点0,4,设f(x)=x(x-4)(kx+m)(其中k0),则f(x)=kx(x-4)+(kx+m)(2x-4).在点A处的切线经过点B,在点D处的切线经过点C,由f(0)=4,f(4)=-2,解得m=-1,k=18,f(x)=18x(x-4)(x-8).(2)证明g(x)=8f(x)+(12-3a)x2-35x+5a(a0),则g(x)=3x2-6a
12、x-3,=(-6a)2-43(-3)=36a2+360,g(x)有两个不相等的根x1,x2,易知x1,x2是g(x)的两个极值点.x1+x2=-6a3=2a,x1x2=-33=-1,g(x1)+g(x2)=x13-3ax12-3x1+5a+x23-3ax22-3x2+5a=x13+x23-3a(x12+x22)-3(x1+x2)+10a=(x1+x2)(x1+x2)2-3x1x2-3a(x1+x2)2-2x1x2-3(x1+x2)+10a=2a(4a2+3)-3a(4a2+2)-6a+10a=-4a3+4a=4a(1-a2),g(x1)+g(x2)0,4a(1-a2)0,a0,1-a20,a1,即a的最小值为1.8
