1、学业分层测评(十五)函数的零点(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题 1.下列函数没有零点的是()A.f (x)0 B.f (x)2C.f (x)x21 D.f (x)x【解析】函数f (x)2，不能满足方程f (x)0，因此没有零点.【答案】B2.函数f (x)x33x5的零点所在的大致区间是()A.(2,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)【解析】函数f (x)x33x5是单调递减函数，又f (1)1331510，f (2)2332590，函数f (x)的零点必在区间(1,2)上，故必存在零点的区间是(1,2)，故选C.【答案】C3.函数yx316x的零点个数是()A.0
2、B.1 C.2 D.3【解析】令x316x0，易解得x4,0,4，由函数零点的定义知，函数yx316x的零点有3个.【答案】D4.方程x3x10的一个根存在区间可能是()A.0,1 B.1,2C.2,3 D.3,4【解析】原方程可化为x3x1，由yx3与yx1的图象知两函数图象的交点在(0,1)之间，故原方程的根在0,1之间.【答案】A5.若函数f (x)的零点与g(x)2x2的零点相同，则f (x)可以是()A.f (x)4x1 B.f (x)(x1)2C.f (x)x24x5 D.f (x)x21【解析】令g(x)2x20，得x1，g(x)的零点为1.由题意知方程f (x)0只有x1一个根
3、.只有选项B中函数f (x)(x1)2满足.【答案】B二、填空题6.函数f (x)2x2ax3有一零点为，则f (1)_.【解析】是f (x)的零点，22a30，a5，f (x)2x25x3，f (1)0.【答案】07.若方程|x24x|a0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是_. 【导学号：60210061】【解析】由|x24x|a0，得a|x24x|，作出函数y|x24x|的图象，则由图象可知，要使方程|x24x|a0有四个不相等的实根，则0a4.【答案】(0,4)8.若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k的取值范围为_.【解】设f (x)
4、x2(k2)x2k1.f (x)0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，即k.【答案】三、解答题9.设函数g(x)ax2bxc(a0)，且g(1).(1)求证：函数g(x)有两个零点；(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数.【解】(1)证明：g(1)abc，3a2b2c0，cab.g(x)ax2bxab，(2ab)22a2，a0，0恒成立，故函数f (x)有两个零点.(2)根据g(0)c，g(2)4a2bc，由(1)知3a2b2c0，g(2)ac.当c0时，有g(0)0，又a0，g(1)0，故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点.
5、当c0时，g(1)0，g(0)c0，g(2)ac0，函数f (x)在区间(1,2)内有一零点，综合，可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.10.(2016沈阳高一检测)设函数f (x)(1)画出函数yf (x)的图象；(2)讨论方程|f (x)|a的解的个数.(只写明结果，无需过程)【解】(1)函数yf (x)的图象如图所示：(2)函数y|f (x)|的图象如图所示：0a4时，方程有四个解；a4时，方程有三个解；a0或a4时，方程有二个解；a0时，方程没有实数解.能力提升1.若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一个实根，则a的取值范围是()A.a1C.1a1 D.0a1.【答案】
6、B2.若一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根，则有()A.a0C.a1【解析】法一：令f (x)ax22x1(a0)，其图象经过(0,1)点，欲使方程有一正根和一负根(即f (x)的图象与x轴的交点一个在y轴左边，一个在y轴右边)，需满足a0.法二：设方程的两根为x1，x2，由题意得a0.【答案】A3.函数f (x)(x2)(x5)1有两个零点x1，x2，且x1x2，下列关于x1，x2的式子：x12且2x22且x25；x15；2x15；x1x27.其中错误的有_.(填序号)【解析】令g(x)(x2)(x5)，则f (x)g(x)1，函数yf (x)的零点就是函数g(x)(x2
7、)(x5)与函数y1图象交点的横坐标.而g(x)(x2)(x5)的图象与y1的图象在同一坐标系的图象如图所示，结合图象知只有正确.错误.【答案】4.已知关于x的函数y(m6)x22(m1)xm1恒有零点.(1)求m的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为4，求m的值. 【导学号：60210062】【解】(1)当m60时，函数为y14x5，显然有零点；当m60时，由4(m1)24(m6)(m1)36m200，得m.当m且m6时，二次函数有零点.综上，m.(2)设x1，x2是函数的两个零点，则x1，x2是方程(m6)x22(m1)xm10(m60)的两个根.x1x2，x1x2.4，即4，4，解得m3.且当m3时，m60，0符合题意，m的值为3.
