1、班级：_ 姓名：_ 等第：_第八节 空间向量的应用(1)一、填空题1.已知向量 ami5jk，b3ijnk，i，j，k 为单位正交基底，若 ab，则实数m_，n_.2.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则顶点 D 的坐标为_3.已知 A(0,0,0)，B(1,1,1)，C1，12，1，D12，1，1，E1，1，12，则直线 AB_平面 CDE.(填直线与平面的位置关系)4.已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 aAB，bAC，若向量 kab与 ka2b 互相垂直，则 k 的值为_5.已知 a
2、(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若 a、b、c 三向量共面，则实数 等于_6.已知 a(1,0,2)，平面 过点 A(3,1，1)，B(1，1,0)，且 a，则平面 的一个法向量是_7.如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍则ACSD_.8.已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则 y_.二、解答题9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 的中点，求证：平面 AEH平面 BDGF.10.M 为长方体 AC1 的
3、棱 BC 的中点，点 P 在长方体 AC1 的一个平面 CC1D1D 内，若 PM平面 BB1D1D，试探讨点 P 的确切位置11.已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.(1)证明：PABD；(2)求证：平面 PAD平面 PAB.12.如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面 BCE；(2)设线段 CD、AE 的中点分别为 P、M，求证：PM平面 BCE.答 案1.15 15 解析：a(m,5，1)，b(3,
4、1，n)因为 ab，所以 ab，解得 m15，n15.2.(5,13，3)解析：设点 D(x，y，z)，则BA(2,6,2)，CD(x3，y7，z5)，因为BACD，所以 x32，y76，z52，解得 x5，y13，z3.3 解析：易得AB(1,1,1)，CD(12，12，0)，CE0，12，12，ABCD 0，ABCE0，AB平面 CDE.4.52或 2 解析：a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)0，即 2k2k100，解得 k52或 k2.5.657 解析：由已知可得 cxayb，即有2xy7，x4y53x2
5、y，解得 657.6.(4，3,2)(不唯一)解析：设平面 的法向量 n(x，y，z)，则有na0，nAB0，即x2z0，2x2yz0，解得x2z，y32z，令 z2，即可得平面 的一个法向量是(4，3,2)7.0 解析：连接 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点，OB，OC，OS 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz 如图所示设底面边长为 a，则高 SO 142 a.于是 S0，0，142 a，D 22 a，0，0，C0，22 a，0，OC 0，22 a，0，SD 22 a，0，142 a，则OC SD0，所
6、以ACSD0.8.157 解析：ABBC，1351(2)z0，解得 z4，即BC(3,1,4)又BP平面 ABC，BPAB，1(x1)5y(2)(3)0，即 x5y50；又BPBC，(x1)3y(3)40，即 3xy150，由联立方程组，解得 y157.9.建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，设正方形的边长为 2，则点 A(2,0,0)，E(2,1,2)，H(1,0,2)，G(0,1,2)，F(1,2,2)EH(1，1,0)，GF(1,1,0)，AE(0,1,2)，DG(0,1,2)，EH GF，AEDG.即可得 EHGF，AEDG.又 EH平面 BDGF，AE平面 BDGF，GF平面
7、BDGF，DG平面 BDGF，EH平面 BDGF，AE平面 BDGF.又直线 EH直线 AEE，平面 AEH平面 BDGF.10.如图建立空间直角坐标系 Dxyz，设 A(a,0,0)，B(a，b,0)，C(0，b,0)，D1(0,0，c)，则M12a，b，0，根据题意可设 P(0，y，z)，PM平面 BB1D1D，存在实数对(m，n)，使得PM mDB nDD1，即12a，by，z(ma，mb，nc)，可得12ama，bymb，znc，解得m12，y12b，nR，zR，即点 P0，12b，z.点 P 在棱 CD，C1D1 的中点连线上11.设 BC 中点为 O，连接 PO.侧面 PBC底面
8、ABCD，PBC 为等边三角形，PO底面 ABCD.以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，以 OP 所在直线为 z 轴如图，建立空间直角坐标系不妨设 CD1，则 ABBC2，PO 3.A(1，2,0)，B(1,0,0),D(1，1,0)，P(0,0，3)BD(2，1,0)，PA(1，2，3)BD PA(2)1(1)(2)0(3)0，PABD，即 PABD.(2)如图，取 PA 的中点 M，连接 DM，则M12，1，32.DM 32，0，32，PB(1,0，3)，DM PA3210(2)32(3)0，DM PA，即 DMPA.又DM PB32100 32(3)0，DM PB，即 DMPB，DM平面 PAB，又 DM平面 PAD，平面 PAD平面 PAB.12.因为ABE 是等腰直角三角形，ABAE，所以 AEAB.又因为平面 ABEF平面 ABCD，AE平面 ABEF，平面 ABEF平面 ABCDAB，所以 AE平面 ABCD，所以 AEAD.
