1、课时规范训练A组基础演练1抛物线yx2的焦点坐标是()A.B.C. D.解析：选C.把原方程先化为标准方程x22y，则2p2，即焦点坐标为，故选C.2过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x22，|PQ|4，则抛物线的方程是()Ay24x By28xCy22x Dy26x解析：选A.由抛物线的定义知|PQ|x1x2p4，又x1x22，所以p2，即抛物线的方程是y24x.故选A.3已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.解析：选C.|AF|BF|xAxB3
2、，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.4已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D解析：选C.点A(2,3)在抛物线C的准线上，2，抛物线的焦点F的坐标为(2,0)又A(2,3)，根据斜率公式得kAF.5抛物线y2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称若2x1x21，则2m的值是()A3 B4C5 D6解析：选A.由1，m,2x1x21，以及y12x，y22x可得x2x1y1y22(xx)，x1x2，2m(y1y2)(x1x2)2(xx)2(x1x2)24x1x2223，故选A.6若点P到直线y1的距离比它
3、到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_解析：由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.答案：x212y7已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.解析：设A(x0，y0)，由抛物线定义知x012，x01，则直线ABx轴，|BF|AF|2.答案：28若抛物线x2ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为_解析：由题意可知，点A在抛物线x2ay上，所以1a，解得a4，得x24y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点
4、A到抛物线的焦点的距离为yA1.答案：9设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明：法一：设AB：xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yAyBp2，即yB.BCx轴，且C在准线x上，C.则kOCkOA.直线AC经过原点O.法二：如图，设准线l与x轴的交点为E，过A作ADl，垂足为D.则ADEFBC.连接AC交EF于点N，则，.|AF|AD|，|BF|BC|，|EN|NF|，即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.10如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶
5、点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1
6、x2)，kAB1(x1x2)B组能力突破1如图，抛物线C1：y22px和圆C2：2y2，其中p0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为()Ap2 B.C D.解析：选B.设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|AF|BF|x1x1，同理|CD|x2.故|AB|CD|x1x2.2设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6C12 D7解析：选C.F为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan 30，即yx.联立得x2x0.x1x2，即xAxB.由于|AB|xAxBp，所以|A
7、B|12.3已知抛物线C：x24y的焦点为F，直线x2y40与C交于A、B两点，则sinAFB()A. B.C. D.解析：选B.由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1)联立直线与抛物线方程，得解得或令A(2,1)，则B(4,4)，|AB|3，|AF|2，|BF|5，在ABF中，cos AFB，sin AFB ，故选B.4已知AB是抛物线x24y的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB所在的直线方程是_解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xm(y1)，由抛物线的定义及题设可得，y1y26，直线与抛物线方程联立消去x可得m2y2(2m24)ym20.y1y2，
8、即6，可得m1或m1.故直线方程为xy10或xy10.法二：|AB|y1y2p628.而|AB|，sin2，即sin .45或135，k1或1.AB的方程为y1x，或y1x.答案：y1x或y1x5已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0)化简得y24x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等价于y1y210y1y2(y1y2)22y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，且m的取值范围是(32，32)
