1、1定积分的概念授课提示:对应学生用书第37页自主梳理一、定积分的概念一般地,给定一个在区间a,b上的函数yf(x),其图像如图所示将a,b区间分成n份,分点为:ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1,xi,设其长度为xi,在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi1,xi上的值最大,设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi1,xi的值最小,设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,我们就称A是函数yf(x)在区间
2、a,b上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dxA.其中叫作_,a叫作_,b叫作_,f(x)叫作_二、定积分的几何、物理意义1当f(x)0时,f(x)dx表示的是_与_所围曲边梯形的面积;2当f(x)表示速度关于时间x的函数时,f(x)dx表示的是运动物体从xa到xb时所走过的_三、定积分的性质性质1:1dx_;性质2:kf(x)dx_;性质3:dx_;性质4:f(x)dx_.双基自测1一物体沿直线运动,其速度v(t)2t,这个物体在t0到t1这段时间所走的路程为()A.B.C1 D22下列式子中不成立的是()Asin xdxcos xdxBC.sin xdxcos xdxD.|sin x|
3、dx|cos x|dx3若f(x)dx3,g(x)dx2,则f(x)g(x)dx_.自主梳理一、积分号积分的下限积分的上限被积函数二、1.yf(x)xa,xb和x轴2.路程三、bakf(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dx双基自测1C所走的路程为2tdt,由定积分的几何意义作图(图略)求得2tdt1.2C分别作出被积函数f(x)sin x和g(x)cos x在各区间上的图像,由定积分的几何意义,易得只有C选项不成立35由定积分的性质易得f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx325.授课提示:对应学生用书第38页探究一对定积分定义的理解(曲边梯形的面积)例1求抛物线yx
4、2与直线x0,x1,y0所围成的平面图形的面积S.解析(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n1个点,将它等分成n个小区间:0,1记第i个区间为,(i1,2,n),其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积记作S1,S2,Sn,则SSi.(2)近似代替:记f(x)x2.当n很大,即x很小时,在区间,上,可以认为f(x)x2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f()就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样,在区间,上,用小矩形的面积Si近似地代替Si,即在局部小范围内“以直代曲”,则有SiSif()x()
5、2x()2(i1,2,n)(3)求和:由,得SnSi()x()20()2()21222(n1)2(1)(1)从而得到S的近似值SSn(1)(1)(4)取极限:分别将区间0,1等分成8,16,20,等份时,可以看到随着n的不断增大,即x越来越小时,Sn(1)(1)越来越趋近于S,而当n趋向于时,式无限趋近于,即所求面积为.用分割,近似代替,求和,取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积,它体现了一种化整为零(分割),积零为整(取极限)的思想方法1求由直线x1、x2、y0及曲线y围成的图形的面积S.解析:(1)分割:在区间1,2上等间隔地插入n1个点,将它等分成n个小区间:1,2,记第i个区间为,(
6、i1,2,n),其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图),它们的面积记作:S1,S2,Sn,则小曲边梯形面积的和为SSi.(2)近似代替:记f(x).当n很大,即x很小时,在区间,上,可以认为f(x)的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它等于f()从图形上看,就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样,在区间,上,用小矩形面积Si近似地代替Si,即在局部小范围内“以直代曲”,则有SiSif()x(i1,2,n)(3)求和:小曲边梯形的面积和SnSiSin()n().从而得到S的近似值SSn.(4)取极限:分别将区间1,2等分成8,16
7、,20,等份时,Sn越来越趋向于S,从而有S.由直线x1,x2,y0及曲线y围成的图形的面积S为.探究二用定积分的几何意义求定积分例2用定积分的几何意义求dx(b0)的值解析令yf(x),则有2y22,表示以为圆心,半径为的上半圆,而这个上半圆的面积为Sr22,由定积分的几何意义可知,dx.由定积分的几何意义求定积分的步骤(1)当f(x)0时,f(x)dx等于由直线xa,xb,y0与曲线yf(x)围成曲边梯形的面积,这是定积分的几何意义(2)计算f(x)dx时,先明确积分区间a,b,从而确定曲边梯形的三条直边,xa,xb,y0,再明确被积函数f(x),从而确定曲边梯形的曲边,这样就可以通过求曲
8、边梯形的面积S而得到定积分的值:当f(x)0时,f(x)dxS;当f(x)0时,f(x)dxS.2用定积分的几何意义求下列各式的值:(1) (2) (3) 解析:(1)由y可知x2y24(y0),其图像如图等于圆心角为的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin,S矩形ABBC2,2.(2)函数ysin x在x,上是奇函数,0.(3)函数y1sin x的图像如图所示,S矩形ABCD2.探究三定积分性质的应用例3已知x3dx,x3dx,x2dx,x2dx,求:(1)(3x3)dx;(2)(6x2)dx.解析(1)(3x3)dx3x3dx3312.(2)(6x2)dx6x2dx6
9、6126.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式,利用定积分的运算性质进行计算,可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数,一般利用积分区间的连续可加性计算3已知xdx,x2dx,求下列定积分的值:(1)(2xx2)dx;(2)(2x2x1)dx.解析:(1)(2xx2)dx2xdxx2dx2e2.(2)(2x2x1)dx2x2dxxdx1dx,因为xdx,x2dx,又由定积分的几何意义知:1dx等于直线x0,xe,y0,y1所围成的图形的面积,所以1dx1ee,故(2x2x1)dx2ee3e2e.因忽视定积分的几何意义而致误例4定积分()dx_.解析曲线y,即x2y24(0x2,0y2),表示圆心在原点,半径为2的圆在第一象限的圆弧和点(2,0),(0,2),dx表示被积函数y在积分区间0,2上的图像与x轴围成的平面图形的面积Sr2,即dx,所以()dxdx.答案错因与防范本题易忽视被积函数的符号而错解定积分的值为.对于定积分f(x)dx,当f(x)0时,定积分就等于曲边梯形的面积;当f(x)0时,定积分等于曲边梯形面积的相反数;计算定积分时,常常运用定积分的性质2,即kf(x)dxkf(x)dx(k为常数),将被积函数中的系数调整位置以后再计算