1、1定积分的概念授课提示：对应学生用书第37页自主梳理一、定积分的概念一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，其图像如图所示将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数yf(x)在区间
2、a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxA.其中叫作_，a叫作_，b叫作_，f(x)叫作_二、定积分的几何、物理意义1当f(x)0时，f(x)dx表示的是_与_所围曲边梯形的面积；2当f(x)表示速度关于时间x的函数时，f(x)dx表示的是运动物体从xa到xb时所走过的_三、定积分的性质性质1：1dx_；性质2：kf(x)dx_；性质3：dx_；性质4：f(x)dx_.双基自测1一物体沿直线运动，其速度v(t)2t，这个物体在t0到t1这段时间所走的路程为()A.B.C1 D22下列式子中不成立的是()Asin xdxcos xdxBC.sin xdxcos xdxD.|sin x|
3、dx|cos x|dx3若f(x)dx3，g(x)dx2，则f(x)g(x)dx_.自主梳理一、积分号积分的下限积分的上限被积函数二、1.yf(x)xa，xb和x轴2.路程三、bakf(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dx双基自测1C所走的路程为2tdt，由定积分的几何意义作图(图略)求得2tdt1.2C分别作出被积函数f(x)sin x和g(x)cos x在各区间上的图像，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立35由定积分的性质易得f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx325.授课提示：对应学生用书第38页探究一对定积分定义的理解(曲边梯形的面积)例1求抛物线yx
4、2与直线x0，x1，y0所围成的平面图形的面积S.解析(1)分割：在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：0，1记第i个区间为，(i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作S1，S2，Sn，则SSi.(2)近似代替：记f(x)x2.当n很大，即x很小时，在区间，上，可以认为f(x)x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f()就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间，上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSif()x()
5、2x()2(i1,2，n)(3)求和：由，得SnSi()x()20()2()21222(n1)2(1)(1)从而得到S的近似值SSn(1)(1)(4)取极限：分别将区间0,1等分成8,16,20，等份时，可以看到随着n的不断增大，即x越来越小时，Sn(1)(1)越来越趋近于S，而当n趋向于时，式无限趋近于，即所求面积为.用分割，近似代替，求和，取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整为零(分割)，积零为整(取极限)的思想方法1求由直线x1、x2、y0及曲线y围成的图形的面积S.解析：(1)分割：在区间1,2上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：1，2，记第i个区间为，(
6、i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：S1，S2，Sn，则小曲边梯形面积的和为SSi.(2)近似代替：记f(x).当n很大，即x很小时，在区间，上，可以认为f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f()从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间，上，用小矩形面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSif()x(i1,2，n)(3)求和：小曲边梯形的面积和SnSiSin()n().从而得到S的近似值SSn.(4)取极限：分别将区间1,2等分成8,16
7、,20，等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S.由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S为.探究二用定积分的几何意义求定积分例2用定积分的几何意义求dx(b0)的值解析令yf(x)，则有2y22，表示以为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为Sr22，由定积分的几何意义可知，dx.由定积分的几何意义求定积分的步骤(1)当f(x)0时，f(x)dx等于由直线xa，xb，y0与曲线yf(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义(2)计算f(x)dx时，先明确积分区间a，b，从而确定曲边梯形的三条直边，xa，xb，y0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲
8、边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)0时，f(x)dxS；当f(x)0时，f(x)dxS.2用定积分的几何意义求下列各式的值：(1) (2) (3) 解析：(1)由y可知x2y24(y0)，其图像如图等于圆心角为的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin，S矩形ABBC2，2.(2)函数ysin x在x，上是奇函数，0.(3)函数y1sin x的图像如图所示，S矩形ABCD2.探究三定积分性质的应用例3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx.解析(1)(3x3)dx3x3dx3312.(2)(6x2)dx6x2dx6
9、6126.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算3已知xdx，x2dx，求下列定积分的值：(1)(2xx2)dx；(2)(2x2x1)dx.解析：(1)(2xx2)dx2xdxx2dx2e2.(2)(2x2x1)dx2x2dxxdx1dx，因为xdx，x2dx，又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x0，xe，y0，y1所围成的图形的面积，所以1dx1ee，故(2x2x1)dx2ee3e2e.因忽视定积分的几何意义而致误例4定积分()dx_.解析曲线y，即x2y24(0x2,0y2)，表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的圆弧和点(2,0)，(0,2)，dx表示被积函数y在积分区间0,2上的图像与x轴围成的平面图形的面积Sr2，即dx，所以()dxdx.答案错因与防范本题易忽视被积函数的符号而错解定积分的值为.对于定积分f(x)dx，当f(x)0时，定积分就等于曲边梯形的面积；当f(x)0时，定积分等于曲边梯形面积的相反数；计算定积分时，常常运用定积分的性质2，即kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)，将被积函数中的系数调整位置以后再计算