1、保温练习 2 第 1 页 2020 届高三数学保温练习 2 2020.7 第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.如果复数 222(32)izaaaa=+为纯虚数,那么实数 a 的值为 A.2 B.1 C.2 D.1 或 2 2.已知(0,1)m,令log 2ma=,2bm=,2mc=,那么,a b c 之间的大小关系为 Abca Bbac C abc Dcab 3.下列函数中,满足(i)()()0f xfx+=;(ii)在区间(0,1)上对任意()1212,xxxx都有1212()()()0
2、f xf xxx 的函数是 (A)3yx=(B)sin()yx=(C)2logyx=(D)22xxy=4.设,是向量,则“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在四边形 ABCD 中,AB CD,ACABAD=+(,)R.若+=32,则|CDAB=(A)13 (B)12 (C)1 (D)2 6.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A,()2,2,0B,()0,2,0C,()1,1,2D,若1S,2S,3S 分别表示三棱锥 DABC在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影 图形面积,则 (A)123SSS=(B)
3、12SS=且 31SS(C)13SS=且 32SS (D)23SS=且 13SS ab|ab=|abab+=保温练习 2 第 2 页 7.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是1 C,空气的温度是0 C,经过t 分钟后物体的温度C可由公式010()e kt=+求得,其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0 的常数现有80 C的物体,放在20 C 的空气中冷却,4 分钟以后物体的温度是40 C,则k 约等于(参考数据:ln31.099)(A)0.6 (B)0.5(C)0.4 (D)0.3 8.将函数图象上的点向左平移()个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则 A.,的最小值为
4、 B.,的最小值为 C.,的最小值为 D.,的最小值为 9.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率p 与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系2patbtc=+(a、b、c 是常数)下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 A.3.50 分钟 B.3.75 分钟 C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 10.如图,某公园内有一个半圆形湖面,O 为圆心,半径为 1 千米,现规划在半圆弧岸边上取点C,D,E,满足2AODDOEAOC=,在扇形 AOC 和四边形ODEB区域内种植荷花,在扇形COD 区域内修建水上项目,并在湖
5、面上修建栈道 DE,EB 作为观光路线,则当 DEEB+取得最大值时,sinAOC=A26 B 14 C23 D 12 sin(2)3yx=(,)4Pts0s PPsin 2yx=12t=s632t=s612t=s332t=s3O5430.80.70.5tp保温练习 2 第 3 页 第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。11.若双曲线22214xya=(0)a 的离心率为52,则 a=12.在52xx的二项展开式中,2x 的系数为_(用数字作答)13.直线220,(0)axbycab+=+与圆225xy+=交于 A,B 两点,O 为坐标原点,
6、则三角形 AOB 得面积最大值为 ,OAOB 的取值范围是 14.设无穷等比数列 na的各项为整数,公比为q,且1q ,1322aaa+,写出数列 na的一个通项公式_ 15.关于曲线22:4C xxyy+=,给出下列四个结论:曲线 C 关于原点对称,但不关于 x 轴、y 轴对称;曲线 C 恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线 C 上任意一点都不在圆223xy+=的内部;曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于2 2 其中,正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.已知数列na的前 n 项和为nS,11a=,是否存
7、在正整数k(1k),使得12,kka a S+成等比数列?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由 从120nnaa+=,1(2)nnSSn n=+,2nSn=这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答 保温练习 2 第 4 页 17.体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度 T(单位:C)平均在36 C37 C之间即为正常体温,超过37.1 C即为发热发热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型:低热:37.138T;高热:3840T;超高热(有生命危险):40T 某位患者因患肺炎发热,于 12 日至 26 日住院治疗医生根据病情变化,从 14日开始,以 3 天为一个疗程,分别用
8、三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热住院期间,患者每天上午 8:00 服药,护士每天下午 16:00 为患者测量腋下体温记录如下:抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素 A”疗 使用“抗生素 B”治疗 日期 12 日 13日 14 日 15 日 16 日 17 日 18日 19 日 体温(C)38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温(C)38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3(I)请你计算住院期间
9、该患者体温不低于39 C各天体温平均值;(II)在 19 日23 日期间,医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项目”的检查,记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数,试求 X 的分布列与数学期望;(III)抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由 的保温练习 2 第 5 页 18.如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3E为 PD 的中点,点 F 在 PC 上,
10、且13PFPC=()求证:CD平面 PAD;()求二面角 FAEP 的余弦值;()设面 AEF 点与棱 PB 交于点 G,试求 PGPB的值 19.已知函数()(1)exf xxa=:()若函数的最小值为-1,求实数a 的值;()若12xx,且有12+2xxa=,求证:12()()f xf x.保温练习 2 第 6 页 20.已知菱形 ABCD 的顶点 AC,在椭圆2234xy+=上,对角线 BD 所在直线的斜率为1()当直线 BD 过点(01),时,求直线 AC 的方程;()当60ABC=时,求菱形 ABCD 面积的最大值 21.已知集合 M*N,且 M 中的元素个数n 大于等于5.若集合
11、M 中存在四个不同的元素a,b,c,d,使得abcd+=+,则称集合 M 是“关联的”,并称集合,a b c d是集合 M 的“关联子集”;若集合 M 不存在“关联子集”,则称集合 M 是“独立的”.()分别判断集合2,4,6,8,10与1,2,3,5,8 是“关联的”还是“独立的”?若是“关联的”,写出其所有的“关联子集”;()已知集合12345,Ma a a a a=是“关联的”,且任取集合,ija aM,总存在M 的“关联子集”A,使得,ija aA.若12345aaaaa,求证:12345,aa a aa 是等差数列;()若集合 M 是“独立的”,求证:存在 xM,使得294nnx+.
12、保温练习 2 第 7 页 答案 CCDDB DDABB 11.4 12.80 13.52 14.()*2,nnan=N(答案不唯一)15.16.解:选择由120nnaa+=,得12nnaa+=,得12nnaa+=,因为11a=,所以 na是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 所以1112nnnaa q=所以12kka=22212(1)1 22111 2kkkkaqSq+=若12,kka a S+成等比数列,则212kkaa S+=即1 2(2)k221k+化简得2(2)16 240kk+=解得282 15k=因为k 为正整数且1k,所以k 不存在 选择当12nnnnaSSn=时,因为11a=
13、符合上式,所以nan=na是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 所以kak=122()(2)(12)(2)(3)(2)222kkaakkkkkS+=若12,kka a S+成等比数列,则212kkaa S+=即2(3)(2)2kkk+=因为k 为正整数且1k,所以解得6k=选择 当2212(1)21nnnnaSSnnn=时,因为11a=符合上式,所以21nan=na是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 所以21kak=,22(2)123kakk+=+=+2122()(2)(1 23)(2)(2)22kkaakkkSk+=+若12,kka a S+成等比数列,则212kkaa S+=即22(
14、21)(2)kk=+因为k 为正整数且1k,所以解得3k=保温练习 2 第 8 页 17.(I)由表可知,该患者共 6 天的体温不低于39 C,记平均体温为 x,()1 39.439.740.1 39.939.239.039.55 C6x=+=所以,患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C()X 的所有可能取值为 0,1,2()3032351010C CP XC=,()213235631105C CP XC=,()1232353210C CP XC=,则 X 的分布列为:X 0 1 2 P 110 35 310 所以()1336012105105E X=+=()“抗生素 C”治疗
15、效果最佳,理由如下:“抗生素 B”使用期间先连续两天降温后又回升0.1 C,“抗生素 C”使用期间持续降温共计1.2 C,说明“抗生素 C”降温效果最好,故“抗生素 C”治疗效果最佳“抗生素 B”治疗期间平均体温39.03 C,方差约为 0.0156:“抗生素 C”平均体温38 C,方差约为 0.1067,“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素 C”治疗效果最佳 18.(I)因为平面,所以.又因为 ADCD,且 PAADA=所以平面.(II)过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M,因为平面,所以,如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0
16、,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),因为 E 为 PD 的中点,所以 E(0,1,1).所以,,.PA ABCDPACDCD PADPA ABCD,PAAMPAAD()0,1,1AE=()2,2,2PC=()0,0,2AP=保温练习 2 第 9 页 所以,设平面 AEF 的法向量为,则,即.令 z=1,则 y=-1,x=-1.于是.又因为平面 PAD 的法向量为,所以.因为二面角 F-AE-P 为锐角,所以其余弦值为(III)先设=PGPB,写出 G 的坐标,利用 AG 与平面 AEF 的法向量为垂直,可以求得2=3 (具体过程略)19.()定义域
17、为 R,因为()()exfxxa=,令()0=xf,得ax=当 x 变化时,()xf,()xf变化如下表:x ()a,a ()+,a()xf 0+()xf 单调递减 极小值 单调递增 所以ax=是函数()xf极小值点,也是最小值点,所以()e1af a=,解得0=a;()由题可知ax 1,并且有122xax=,1121211e()()(1)e(1)eaxxf xf xxaax=,12 22,33 33PFPC=2 2 4,3 3 3AFAPPF=+=(),x y z=n00AEAF=nn02240333yzxyz+=+=()1,1,1=n()1,0,0=p3cos3=n pnp33()1,1,
18、1=nzyxBGPFEDCMA保温练习 2 第 10 页 记2e()(1)e(1)eaxxg xxaax=,ax,2e()()(e)eaxxg xxa=,当ax 时,2eeeaxx,即()0 xg,所以()xg在区间()+,a上单调递增,()()0=agxg.所以有()()21xfxf,结论成立.20.解:()由题意得直线 BD 的方程为1yx=+因为四边形 ABCD 为菱形,所以 ACBD 于是可设直线 AC 的方程为 yxn=+由2234xyyxn+=+,得2246340 xnxn+=因为 AC,在椭圆上,所以212640n=+,解得4 34 333n 设 AC,两点坐标分别为1122()
19、()xyxy,则1232nxx+=,212344nx x=,11yxn=+,22yxn=+所以122nyy+=所以 AC 的中点坐标为 344n n,由四边形 ABCD 为菱形可知,点 344n n,在直线1yx=+上,所以3144nn=+,解得2n=所以直线 AC 的方程为2yx=,即20 xy+=保温练习 2 第 11 页 ()因为四边形 ABCD 为菱形,且60ABC=,所以 ABBCCA=所以菱形 ABCD 的面积232SAC=由()可得22221212316()()2nACxxyy+=+=,所以234 34 3(316)433Snn=+所以当0n=时,菱形 ABCD 的面积取得最大值
20、4 3 21.()2,4,6,8,10是“关联的”,关联子集有2,4,6,8,4,6,8,10,2,4,8,10,1,2,3,5,8 是“独立的”.()记集合 M 的含有四个元素的集合分别为:12345,Aa a aa=,21345,Aa a aa=,31245,Aa a aa=,41235,Aa a aa=,51234,Aa a aa=.所以,M 至多有 5 个“关联子集”.若21345,Aa a aa=为“关联子集”,则12345,Aa a aa=不是“关联子集”,否则12aa=;同理可得若21345,Aa a aa=为“关联子集”,则3A,4A 不是“关联子集”.所以集合 M 没有同时含
21、有元素25,aa 的“关联子集”,与已知矛盾.所以21345,Aa a aa=一定不是“关联子集”.同理41235,Aa a aa=一定不是“关联子集”.所以集合 M 的“关联子集”至多为1A,3A,5A.若1A 不是“关联子集”,则此时集合 M 一定不含有元素35,aa 的“关联子集”,与已知矛盾;保温练习 2 第 12 页 若3A 不是“关联子集”,则此时集合 M 一定不含有元素15,aa 的“关联子集”,与已知矛盾;若5A 不是“关联子集”,则此时集合 M 一定不含有元素13,aa 的“关联子集”,与已知矛盾.所以1A,3A,5A 都是“关联子集”.所以有2534aaaa+=+,即543
22、2aaaa=;1524aaaa+=+,即5421aaaa=;1423aaaa+=+,即4321aaaa=,所以54433221aaaaaaaa=.所以12345,aa a aa 是等差数列.()不妨设集合12,nMaaa=(5n),*ia N,1i=,2,n,且12naaa.记*|,1,ijTt taaijn i j=+N.因为集合 M 是“独立的”的,所以容易知道T 中恰好有2(1)C2nn n=个元素.假设结论错误,即不存在 x M,使得294nnx+.所以任取 x M,294nnx+.因为*xN,所以284nnx+.所以22228881134422ijnnnnnnnnaa+=+.所以任取
23、t T,232nnt+.任取t T,1 23t +=,所以23,4,32nnT+,且T 中含有2(1)C2nn n=个元素.(i)若3T,则必有121,2aa=成立.因为5n ,所以一定有121nnaaaa成立.所以12nnaa.所以222188+22442nnnnnnnnaa+=+.所以2*|32,2nnTttt=+N.所以22188=,244nnnnnnaa+=.保温练习 2 第 13 页 因为4T,所以33a=,所以有113nnaaaa+=+,矛盾.(ii)若3T,则24,5,32nnT+.而T 中含有2(1)C2nn n=个元素,所以2*|43,2nnTttt=+N.所以28=4nnna+,21814nnna+=.因为4T,所以121,3aa=.因为222nnT+,所以2222nnnnaa+=+.所以22824nnna+=.所以123nnaaaa+=+,矛盾.所以命题成立.