1、保温练习 2 第 1 页 2020 届高三数学保温练习 2 2020.7 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.如果复数 222(32)izaaaa=+为纯虚数，那么实数 a 的值为 A.2 B.1 C.2 D.1 或 2 2.已知(0,1)m，令log 2ma=，2bm=，2mc=，那么,a b c 之间的大小关系为 Abca Bbac C abc Dcab 3.下列函数中，满足（i）()()0f xfx+=；（ii）在区间(0,1)上对任意()1212,xxxx都有1212()()()0
2、f xf xxx 的函数是 （A）3yx=（B）sin()yx=（C）2logyx=（D）22xxy=4.设，是向量，则“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在四边形 ABCD 中，AB CD，ACABAD=+(，)R.若+=32，则|CDAB=（A）13 （B）12 （C）1 （D）2 6.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，()1,1,2D，若1S，2S，3S 分别表示三棱锥 DABC在 xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影 图形面积，则 （A）123SSS=（B）
3、12SS=且 31SS（C）13SS=且 32SS （D）23SS=且 13SS ab|ab=|abab+=保温练习 2 第 2 页 7.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1 C，空气的温度是0 C，经过t 分钟后物体的温度C可由公式010()e kt=+求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0 的常数现有80 C的物体，放在20 C 的空气中冷却，4 分钟以后物体的温度是40 C，则k 约等于（参考数据：ln31.099）（A）0.6 （B）0.5（C）0.4 （D）0.3 8.将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则 A.，的最小值为
4、 B.，的最小值为 C.，的最小值为 D.，的最小值为 9.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc=+（a、b、c 是常数）下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A.3.50 分钟 B.3.75 分钟 C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 10.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆弧岸边上取点C，D，E，满足2AODDOEAOC=，在扇形 AOC 和四边形ODEB区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖
5、面上修建栈道 DE，EB 作为观光路线，则当 DEEB+取得最大值时，sinAOC=A26 B 14 C23 D 12 sin(2)3yx=(,)4Pts0s PPsin 2yx=12t=s632t=s612t=s332t=s3O5430.80.70.5tp保温练习 2 第 3 页 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.若双曲线22214xya=(0)a 的离心率为52，则 a=12.在52xx的二项展开式中，2x 的系数为_（用数字作答）13.直线220,(0)axbycab+=+与圆225xy+=交于 A,B 两点，O 为坐标原点，
6、则三角形 AOB 得面积最大值为 ，OAOB 的取值范围是 14.设无穷等比数列 na的各项为整数，公比为q，且1q ，1322aaa+，写出数列 na的一个通项公式_ 15.关于曲线22:4C xxyy+=，给出下列四个结论：曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴、y 轴对称；曲线 C 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 C 上任意一点都不在圆223xy+=的内部；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于2 2 其中，正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.已知数列na的前 n 项和为nS，11a=，是否存
7、在正整数k（1k），使得12,kka a S+成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 从120nnaa+=，1(2)nnSSn n=+，2nSn=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 保温练习 2 第 4 页 17.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 T（单位：C）平均在36 C37 C之间即为正常体温，超过37.1 C即为发热发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T；高热：3840T；超高热（有生命危险）：40T 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗医生根据病情变化，从 14日开始，以 3 天为一个疗程，分别用
8、三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热住院期间，患者每天上午 8：00 服药，护士每天下午 16：00 为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素 A”疗 使用“抗生素 B”治疗 日期 12 日 13日 14 日 15 日 16 日 17 日 18日 19 日 体温（C）38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温（C）38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3（I）请你计算住院期间
9、该患者体温不低于39 C各天体温平均值；（II）在 19 日23 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项目”的检查，记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求 X 的分布列与数学期望；（III）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由 的保温练习 2 第 5 页 18.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，
10、且13PFPC=（）求证：CD平面 PAD；（）求二面角 FAEP 的余弦值；（）设面 AEF 点与棱 PB 交于点 G，试求 PGPB的值 19.已知函数()(1)exf xxa=：（）若函数的最小值为-1，求实数a 的值；（）若12xx，且有12+2xxa=，求证：12()()f xf x.保温练习 2 第 6 页 20.已知菱形 ABCD 的顶点 AC，在椭圆2234xy+=上，对角线 BD 所在直线的斜率为1（）当直线 BD 过点(01)，时，求直线 AC 的方程；（）当60ABC=时，求菱形 ABCD 面积的最大值 21.已知集合 M*N，且 M 中的元素个数n 大于等于5.若集合
11、M 中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得abcd+=+，则称集合 M 是“关联的”，并称集合,a b c d是集合 M 的“关联子集”；若集合 M 不存在“关联子集”，则称集合 M 是“独立的”.（）分别判断集合2,4,6,8,10与1,2,3,5,8 是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的“关联子集”；（）已知集合12345,Ma a a a a=是“关联的”，且任取集合,ija aM，总存在M 的“关联子集”A，使得,ija aA.若12345aaaaa，求证：12345,aa a aa 是等差数列；（）若集合 M 是“独立的”，求证：存在 xM，使得294nnx+.
12、保温练习 2 第 7 页 答案 CCDDB DDABB 11.4 12.80 13.52 14.()*2,nnan=N（答案不唯一）15.16.解：选择由120nnaa+=，得12nnaa+=，得12nnaa+=，因为11a=，所以 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 所以1112nnnaa q=所以12kka=22212(1)1 22111 2kkkkaqSq+=若12,kka a S+成等比数列，则212kkaa S+=即1 2(2)k221k+化简得2(2)16 240kk+=解得282 15k=因为k 为正整数且1k，所以k 不存在 选择当12nnnnaSSn=时，因为11a=
13、符合上式，所以nan=na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 所以kak=122()(2)(12)(2)(3)(2)222kkaakkkkkS+=若12,kka a S+成等比数列，则212kkaa S+=即2(3)(2)2kkk+=因为k 为正整数且1k，所以解得6k=选择 当2212(1)21nnnnaSSnnn=时，因为11a=符合上式，所以21nan=na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 所以21kak=，22(2)123kakk+=+=+2122()(2)(1 23)(2)(2)22kkaakkkSk+=+若12,kka a S+成等比数列，则212kkaa S+=即22(
14、21)(2)kk=+因为k 为正整数且1k，所以解得3k=保温练习 2 第 8 页 17.（I）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为 x，()1 39.439.740.1 39.939.239.039.55 C6x=+=所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C（）X 的所有可能取值为 0，1，2()3032351010C CP XC=，()213235631105C CP XC=，()1232353210C CP XC=，则 X 的分布列为：X 0 1 2 P 110 35 310 所以()1336012105105E X=+=（）“抗生素 C”治疗
15、效果最佳，理由如下：“抗生素 B”使用期间先连续两天降温后又回升0.1 C，“抗生素 C”使用期间持续降温共计1.2 C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳“抗生素 B”治疗期间平均体温39.03 C，方差约为 0.0156：“抗生素 C”平均体温38 C，方差约为 0.1067，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳 18.（I）因为平面，所以.又因为 ADCD，且 PAADA=所以平面.（II）过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M，因为平面，所以，如图建立空间直角坐标系 A-xyz，则 A（0，0
16、，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），因为 E 为 PD 的中点，所以 E（0，1，1）.所以，,.PA ABCDPACDCD PADPA ABCD,PAAMPAAD()0,1,1AE=()2,2,2PC=()0,0,2AP=保温练习 2 第 9 页 所以，设平面 AEF 的法向量为，则，即.令 z=1,则 y=-1,x=-1.于是.又因为平面 PAD 的法向量为，所以.因为二面角 F-AE-P 为锐角，所以其余弦值为（III）先设=PGPB，写出 G 的坐标，利用 AG 与平面 AEF 的法向量为垂直,可以求得2=3 (具体过程略)19.（）定义域
17、为 R，因为()()exfxxa=，令()0=xf，得ax=当 x 变化时，()xf，()xf变化如下表：x ()a，a ()+，a()xf 0+()xf 单调递减 极小值 单调递增 所以ax=是函数()xf极小值点，也是最小值点，所以()e1af a=，解得0=a；（）由题可知ax 1，并且有122xax=，1121211e()()(1)e(1)eaxxf xf xxaax=，12 22,33 33PFPC=2 2 4,3 3 3AFAPPF=+=(),x y z=n00AEAF=nn02240333yzxyz+=+=()1,1,1=n()1,0,0=p3cos3=n pnp33()1,1,
18、1=nzyxBGPFEDCMA保温练习 2 第 10 页 记2e()(1)e(1)eaxxg xxaax=,ax，2e()()(e)eaxxg xxa=，当ax 时，2eeeaxx，即()0 xg，所以()xg在区间()+，a上单调递增，()()0=agxg.所以有()()21xfxf，结论成立.20.解：（）由题意得直线 BD 的方程为1yx=+因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD 于是可设直线 AC 的方程为 yxn=+由2234xyyxn+=+，得2246340 xnxn+=因为 AC，在椭圆上，所以212640n=+，解得4 34 333n 设 AC，两点坐标分别为1122()
19、()xyxy，则1232nxx+=，212344nx x=，11yxn=+，22yxn=+所以122nyy+=所以 AC 的中点坐标为 344n n，由四边形 ABCD 为菱形可知，点 344n n，在直线1yx=+上，所以3144nn=+，解得2n=所以直线 AC 的方程为2yx=，即20 xy+=保温练习 2 第 11 页 （）因为四边形 ABCD 为菱形，且60ABC=，所以 ABBCCA=所以菱形 ABCD 的面积232SAC=由（）可得22221212316()()2nACxxyy+=+=，所以234 34 3(316)433Snn=+所以当0n=时，菱形 ABCD 的面积取得最大值
20、4 3 21.（）2,4,6,8,10是“关联的”，关联子集有2,4,6,8，4,6,8,10，2,4,8,10，1,2,3,5,8 是“独立的”.（）记集合 M 的含有四个元素的集合分别为:12345,Aa a aa=，21345,Aa a aa=，31245,Aa a aa=，41235,Aa a aa=，51234,Aa a aa=.所以，M 至多有 5 个“关联子集”.若21345,Aa a aa=为“关联子集”，则12345,Aa a aa=不是“关联子集”，否则12aa=;同理可得若21345,Aa a aa=为“关联子集”，则3A，4A 不是“关联子集”.所以集合 M 没有同时含
21、有元素25,aa 的“关联子集”，与已知矛盾.所以21345,Aa a aa=一定不是“关联子集”.同理41235,Aa a aa=一定不是“关联子集”.所以集合 M 的“关联子集”至多为1A，3A，5A.若1A 不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素35,aa 的“关联子集”，与已知矛盾;保温练习 2 第 12 页 若3A 不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素15,aa 的“关联子集”，与已知矛盾;若5A 不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素13,aa 的“关联子集”，与已知矛盾.所以1A，3A，5A 都是“关联子集”.所以有2534aaaa+=+，即543
22、2aaaa=;1524aaaa+=+，即5421aaaa=;1423aaaa+=+，即4321aaaa=,所以54433221aaaaaaaa=.所以12345,aa a aa 是等差数列.（）不妨设集合12,nMaaa=（5n），*ia N，1i=，2,n，且12naaa.记*|,1,ijTt taaijn i j=+N.因为集合 M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有2(1)C2nn n=个元素.假设结论错误，即不存在 x M，使得294nnx+.所以任取 x M，294nnx+.因为*xN，所以284nnx+.所以22228881134422ijnnnnnnnnaa+=+.所以任取
23、t T，232nnt+.任取t T，1 23t +=,所以23,4,32nnT+，且T 中含有2(1)C2nn n=个元素.（i）若3T，则必有121,2aa=成立.因为5n ，所以一定有121nnaaaa成立.所以12nnaa.所以222188+22442nnnnnnnnaa+=+.所以2*|32,2nnTttt=+N.所以22188=,244nnnnnnaa+=.保温练习 2 第 13 页 因为4T，所以33a=，所以有113nnaaaa+=+，矛盾.（ii）若3T，则24,5,32nnT+.而T 中含有2(1)C2nn n=个元素,所以2*|43,2nnTttt=+N.所以28=4nnna+，21814nnna+=.因为4T，所以121,3aa=.因为222nnT+，所以2222nnnnaa+=+.所以22824nnna+=.所以123nnaaaa+=+，矛盾.所以命题成立.