1、第二章导数及其应用5简单复合函数的求导法则课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数y=cos(2x+1)的导数是()A.y=sin(2x+1)B.y=-2xsin(2x+1)C.y=-2sin(2x+1)D.y=2xsin(2x+1)答案C解析函数的导数y=-sin(2x+1)(2x+1)=-2sin(2x+1).2.设f(x)=sin 2x,则f3=()A.32B.-3C.1D.-1答案D解析因为f(x)=sin2x,所以f(x)=(2x)cos2x=2cos2x.则f3=2cos23=-1.3.已知某函数的导数为y=12(x-1),则这个函数可能是()A.y=ln1-xB.y=ln11-xC.
2、y=ln(1-x)D.y=ln1x-1答案A解析(ln1-x)=11-x(1-x)=12(x-1),故A正确;y=-ln1-x,y=-12(x-1),故B不正确;y=11-x(1-x)=1x-1,故C不正确;y=-ln(x-1),y=-1x-1,故D不正确.4.设f(x)=lnx2+1,则f(2)=()A.45B.25C.15D.35答案B解析f(x)=lnx2+1,令u(x)=x2+1,则f(u)=lnu,f(u)=1u,u(x)=122xx2+1=xx2+1,由复合函数的导数公式得f(x)=1x2+1xx2+1=xx2+1,f(2)=25.5.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切
3、,则a的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案B解析设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有1x0+a=1,x0+1=ln(x0+a),由此得x0=-1,a=2.6.函数f(x)=xsin(2x+5)的导数f(x)=.答案sin(2x+5)+2xcos(2x+5)解析f(x)=xsin(2x+5)+x(sin(2x+5)=sin(2x+5)+2xcos(2x+5).7.函数y=2cos2x在x=12处的切线斜率为.答案-1解析由函数y=2cos2x=1+cos2x,得y=(1+cos2x)=-2sin2x,所以函数在x=12处的切线斜率为-2sin212=-1.8.求下列函数的导函数(1)y
4、=2x+1;(2)y=sin2x.解(1)y=(2x+1)=(2x+1)22x+1=12x+1.(2)y=2sinx(sinx)=2sinxcosx=sin2x.关键能力提升练9.设f(x)=ln(2x-1),若f(x)在x0处的导数f(x0)=1,则x0的值为()A.e+12B.32C.1D.34答案B解析由f(x)=ln(2x-1),得f(x)=22x-1.由f(x0)=22x0-1=1,解得x0=32.故选B.10.要得到函数f(x)=sin2x+3的导函数f(x)的图象,只需将f(x)的图象()A.向左平移2个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B.向左平移2个单位
5、长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C.向左平移4个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)D.向左平移4个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)答案C解析f(x)=sin2x+3,f(x)=2cos2x+3=2sin2+2x+3=2sin2x+4+3,要得到导函数f(x)=2sin2x+4+3的图象,只需将f(x)=sin2x+3的图象向左平移4个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变).11.曲线f(x)=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.1答案A解析f
6、(0)=-2e-20=-2,曲线在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2.由y=-2x+2,y=x,解得x=y=23,A23,23,则围成的三角形的面积为12231=13.12.设aR,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f(x),且f(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为()A.ln 2B.-ln 2C.ln22D.-ln22答案A解析对f(x)=ex+ae-x求导得f(x)=ex-ae-x,又f(x)是奇函数,故f(0)=1-a=0,解得a=1,故有f(x)=ex-e-x,设切点为(x0,y0),则f(x0)=ex0-e-x0=32,得ex0=2或e
7、x0=-12(舍去),得x0=ln2.故选A.13.(多选题)下列函数是复合函数的是()A.y=-x3-1x+1B.y=cosx+4C.y=1lnxD.y=(2x+3)4答案BCD解析A不是复合函数,B,C,D均是复合函数.14.(多选题)设函数f(x)=cos(3x+)(-).若f(x)+f(x)是偶函数,则=()A.23B.-3C.56D.-6答案AB解析f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)=2sin3x+56,因为f(x)+f(x)为偶函数,所以当x=0时2sin3x+56=2,则+56=k+2,kZ,所以=k-3,kZ.又-,所以=-3或23.15.f(x)是f(x
8、)=cos xesin x的导函数,则f(x)=.答案(cos2x-sin x)esin x解析f(x)=cosxesinx,f(x)=(cosx)esinx+cosx(esinx)=-sinxesinx+cosxesinxcosx=(cos2x-sinx)esinx.16.已知函数f(x)=2sin 3x+9x,则limx0f(1+x)-f(1)x=.答案6cos 3+9解析f(x)=(2sin3x+9x)=6cos3x+9.limx0f(1+x)-f(1)x=f(1)=6cos3+9.17.点P是f(x)=(x+1)2上任意一点,则点P到直线y=x-1的最短距离是,此时点P的坐标为.答案7
9、28-12,14解析与直线y=x-1平行的f(x)=(x+1)2的切线的切点到直线y=x-1的距离最短.设切点为(x0,y0),则f(x0)=2(x0+1)=1,x0=-12,y0=14,即P-12,14到直线y=x-1的距离最短.d=|-12-14-1|(-1)2+12=728.18.求下列函数的导数:(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(x-2)2;(3)y=x-sinxcosx.解(1)y=(2x2+3)(3x-1),y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.(2)y=(x-2)2,y=2(x-2)(x
10、-2)=2(x-2)12x=1-2x.(3)y=x-sinxcosx=x-12sin2x,y=1-12(2x)cos2x=1-12xcos2x.学科素养创新练19.曲线y=e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为5,求直线l的方程.解y=(e2x)cos3x+e2x(cos3x)=2e2xcos3x-3e2xsin3x,k=2.在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.设符合题意的直线l的方程为y=2x+b,根据题意,得5=|b-1|5,b=6或-4.符合题意的直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.20.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=f(t)=5-25-9t.求函数在t=715 s时的导数,并解释它的实际意义.解函数s=5-25-9t可以看作函数s=5-x和x=25-9t的复合函数,其中x是中间变量.由导数公式可得sx=-12x-12,xt=-9.故由复合函数求导法则得f(t)=st=sxxt=-12x-12(-9)=9225-9t.将t=715代入f(t),得f7150.987(m/s).它表示当t=715s时,梯子上端下滑的速度约为0.987m/s.
