1、第一章单元质量评估(二)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1(x3x2x1)(y2y1)(z1)展开后的不同项数为(D)A9 B12C18 D24解析:分三步:第一步,从(x3x2x1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2y1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z1)中任取一项有2种方法根据分步乘法计数原理共有43224(项)故选D.2某单位拟安排6名职工在今年5月1日至3日值班,每天安排2人,每人值班1天,若6名职工中的甲不在5月1日值班,乙不在5月3日值班,则不同的安排方法共有(C)A30种 B3
2、6种C42种 D48种解析:甲在5月3日值班,有CC24种安排方法;甲在5月2日值班,乙在5月2日值班,有C6种安排方法;甲在5月2日值班,乙在5月1日值班,有CC12种安排方法所以共有2461242种不同的安排方法,故选C.3七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的排法有(B)A240种 B192种C120种 D96种解析:分三步:先排甲,有1种排法;再排乙、丙,其排在甲的左边或右边各有4种排法;最后排其余4人,有A种排法,故共有24A192种排法故选B.4关于(ab)10的说法,错误的是(C)A展开式中的二项式系数之和为1 024B展开式中
3、第6项的二项式系数最大C展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D展开式中第6项的系数最小解析:由二项式系数的性质知,二项式系数之和为2101 024,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的故选C.5若yf(x)是定义域为Ax|1x7,xN,值域为B0,1的函数,则这样的函数共有(B)A128个 B126个C72个 D64个解析:A中的7个元素的象均有2种选择,由分步计数原理可得共有27128种情况,再去掉象全是1,或全是0的情况(这两种情况不满足值域条件)共2种故这样的函数共有128
4、2126个故选B.6用数字1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是(D)AA BAC5A D.A解析:用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,共有A种,而个位数小于十位数的占其中的,故选D.7在(1x3)(1x)10的展开式中,x5的系数是(D)A297 B252C297 D207解析:(1x3)(1x)10(1x)10x3(1x)10展开式中含x5的项的系数为CC207,故选D.8已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点(含x,y正半轴上的整点)上运动,其运动规律为(m,n)(m1,n1)或(m,n)(m1,n1)若该动点从原点
5、出发,经过6步运动到点(6,2),则不同的运动轨迹有(C)A15种 B14种C9种 D103种解析:由运动规律,可知每一步的横坐标都增加1,只需考虑纵坐标的变化,而纵坐标每一步增加1或减少1,经过6步变化后,结果由0变到2,因此这6步中有2步是按照(m,n)(m1,n1)运动的,有4步是按照(m,n)(m1,n1)运动的,因此,共有C15种情况而此动点只能在第一象限的整点(含x,y正半轴上的整点)上运动,当第一步按照(m,n)(m1,n1)运动时不符合要求,有C种情况;当第一步按照(m,n)(m1,n1)运动,但第二、三两步按照(m,n)(m1,n1)运动时也不符合要求,有1种情况故不同的运动
6、轨迹有15C19种9宿舍走廊装有编号1,2,3,8的8盏照明灯,既照明又省电,要熄灭其中3盏灯,但编号相邻的不能同时熄灭,共有不同的熄灯方法有(A)A20种 B120种C1 120种 D56种解析:将熄灭的3盏灯插入5盏灯的6个空档,故有C20种10由0,1,2,3,4中的若干数字组成的比4 000大且无重复数字的自然数共有(C)A24个 B96个C120个 D144个解析:若为四位数需首位为4,其他的三位数从其他的4个数中选3个排在3个不同位置上共有A24个若为五位数均满足共有4A96个故共有2496120(个)自然数11已知nN,若对任意实数x,都有xna0a1(xn)a2(xn)2an(
7、xn)n,则an1的值为(A)An2 BnnC. D.解析:xnn(xn)n,根据二项展开式通项公式得an1Cnn2.正确选项为A.12已知三角形三边长均为正整数,且最大边长为11,则能满足上述条件的三角形的个数为(C)A25 B26C36 D37解析:不妨设两边长为x,y,且yx,则有画线性区域如图则当x1时,y11;当x2时,y11,10;当x11时,y11,则根据分类加法计数原理知满足条件的三角形个数为1234565432136个第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在题中横线上)13二项式n展开式的第5项是常数项,则该常数项240.解析:
8、本题考查二项展开式的通项公式Tr1Canrbr的应用,由通项公式知Tr1Cx2n2rrC(2)rx2n3r是常数项时r4,则2n340,即n6,所以T5C(2)4240.14我们把公因数只有1的两个正整数叫作互质数,例如:2与7互质,3与4互质在2,3,4,5,6,7的任意排列中,使得相邻两个数都互质的不同的排列方法有72种解析:插空法:首先将3,5,7进行全排列,共有A种排法,再将6放入有C种排法,再将4放入有C种排法,最后将2放入有C种排法,所以总的排法有ACCC72种15已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10,则a8180.解析:因为(1x)102(1x)10,
9、所以其展开式的通项为Tr1(1)r210rC(1x)r.令r8得a84C180.16从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的1个时,它应排在其他数字的前面,这样的不同三位数共有60个(用数字作答)解析:1与3是特珠元素,以此为分类标准进行分类分三类:没有数字1和3时,有A个;只有1和3中的1个时,有2A个;同时有1和3时,把3排在1的前面,再从其余4个数字中选1个数字插入3个空档中的1个即可,有CC个所以满足条件的三位数共有A2ACC60个三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演
10、算步骤)17(10分)5名男生,2名女生站成一排照相求在下列约束条件下,有多少种站法?(1)女生不站在两端;(2)女生相邻;(3)女生不相邻解:(1)法一先考虑两端的人,再考虑其他位置,有AA2 400种站法法二先考虑女生应站的位置,再考虑其他元素,有AA2 400种站法(2)将相邻元素捆绑,当作一个元素,与其他元素一起全排列,有AA1 440种站法(3)分两步:第一步,先排男生,有A种站法;第二步,将2名女生插入男生所形成的6个空隙(包括两端)中,有A种站法由分步乘法计数原理知,有AA3 600种站法18(12分)已知等差数列an的首项是二项式6展开式的常数项,公差为二项展开式的各项系数和,
11、求数列an的通项公式解:由于二项式6展开式的通项为Tr1C()6rr(2)rCx3r.令3r0,得r3,常数项为T4(2)3C160,即a1160.又二项展开式的各项系数和即为x1时二项式的值,d1.故数列an的通项公式为an160(n1)1n161.19(12分)有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?(1)分成1本、2本、3本三组;(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;(3)分成每组都是2本的三个组;(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本解:(1)分三步:先选一本有C种选法,再从余下的5本中选两本有C种选法,最后余下的三本全选有C种选法由分步
12、乘法计数原理知,分配方式共有CCC60(种)(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)题的基础上,还应考虑再分配问题,因此,分配方式共有CCCA360(种)(3)先分三步,则应是CCC种方法但是这里面出现了重复,不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则CCC种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共A种情况,而且这A种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同因此,只能作为一种分法,故分配方式有15(种)(4)在问题(3)的基础上再分配
13、即可,共有分配方式ACCC90(种)20(12分)已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.(1)求a0a1a2a3a4a5;(2)求|a0|a1|a2|a5|;(3)求a1a3a5.解:(1)令x1,得a0a1a2a3a4a51.(2)令x1,得35a0a1a2a3a4a5.偶次项的系数为负|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(3)由a0a1a2a3a4a51,a0a1a2a3a4a535, 得2(a1a3a5)135,a1a3a5121.21(12分)现有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个数字(1)可以组成多少个无重复数字的三位数?(
14、2)组成的无重复数字的三位数中,315是按从小到大的顺序排列的第几个数?(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数?(4)选出一个偶数和三个奇数,组成无重复数字的四位数,这样的四位数有多少个?(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列,则称此正整数为“渐减数”,那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个?解:(1)可以组成无重复数字的三位数CA648个(2)组成的无重复数字的三位数中,315是按从小到大的顺序排列的第CACC1156个数(3)可以组成无重复数字的四位偶数ACCA2 296个(4)选出一个偶数和三个奇数,组成无重复数字的四位数,这样的四位数有CACCA1 14
15、0个(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有CCCC210CC1 013个22(12分)已知f(x)(1x)m,g(x)(15x)n(m,nN*)(1)若m4,n5,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项(2)若h(x)f(x)g(x),且h(x)的展开式中含x的项的系数为24,那么当m,n为何值时,h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值?(3)若(15x)n(n10,nN*)的展开式中,倒数第2,3,4项的系数成等差数列,求(15x)n的展开式中系数最大的项解:(1)当m4,n5时,f(x)(1x)4Cx0Cx1Cx2Cx3Cx4,g(x)(15x)5C(5x)0C(5x)1C(5x
16、)5,则f(x)g(x)的展开式中含x2的项为(C50CC5CC52C)x2,即f(x)g(x)的展开式中含x2的项为356x2.(2)因为h(x)f(x)g(x),且h(x)的展开式中含x的项的系数为24,所以C5C24,即m245n(其中1n4,nN*),故h(x)的展开式中含x2的项的系数为C52C25n2130n27625(n)2107(其中1n4,nN*)又|2|3|,所以当n3时(此时m9),h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值,为111.(3)依题意,得倒数第2,3,4项的系数分别为C5n1,C5n2,C5n3.因为倒数第2,3,4项的系数成等差数列,所以2C5n2C5n1C5n3,整理得n233n1820,解得n7或n26(舍去)因为二项式(15x)7的展开式的通项为Tr1C(5x)r,所以,解得r.又r7,rN*,所以r6.即(15x)n的展开式中系数最大的项为T7C(5x)6109 375x6.