1、第 2 讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0 直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 AxByC0包括边界直线不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的不等式(组)线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于
2、x，y 的函数解析式，如 zx2y线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题做一做1不等式 x2y60(a0)；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有2求 zaxby(ab0)的最值方法将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值(1)当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小
3、值时，z 也取最小值；(2)当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值做一做3(2015江苏扬州模拟)点(2，t)在直线 2x3y60 的上方，则 t 的取值范围是_解析：因为直线 2x3y60 的上方区域可以用不等式 2x3y60 表示，所以由点(2，t)在直线 2x3y60 的上方得43t60，解得 t23.答案：23，4若 x，y 满足约束条件x0 x2y3，2xy3则 zxy 的最大值是_解析：作出约束条件x0 x2y32xy3表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线 zxy 过点 A(1，1)时，目标函数 zxy 取得最大值 0.答案：0考点一_
4、二元一次不等式(组)表示的平面区域_(1)若满足条件xy0 xy20ya的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为()A3 B2C1 D0(2)(2014高考安徽卷)不等式组xy20 x2y40 x3y20，表示的平面区域的面积为_解析(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a0 时，只有 4 个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当 a1 时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5 个整点，故选 C.(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由x3y20 x2y40，得 A(8，2)由 xy
5、20，得 B(0，2)又|CD|2，故 S 阴影122212224.答案(1)C(2)4规律方法 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点 1.若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是()Aa43B0a1C1a43D0a1 或 a43解析：选
6、 D.不等式组xy0，2xy2，y0表示的平面区域如图阴影部分所示 解yx2xy2，得 A23，23；解y02xy2，得 B(1，0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 xya 中的 a 的取值范围是 00，b0)的最小值为2，则 ab 的最大值为_解析(1)画出可行域如图所示由 z2xy，得 y2xz，欲求 z 的最大值，可将直线 y2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在 y 轴上的截距z 最小时，即得 z 的最大值，如图，可知当过点 A 时 z 最大，由xy70，x3y10，得x5，y2，即 A(5，2)，则 zmax2528.(2)画出可行域，作出参照直线 axby0，平
7、移参照直线可知在点(2，3)处，目标函数zaxby(a0，b0)取得最小值 2，故 2a3b22 2a3b，ab16.答案(1)B(2)16 在本例(1)条件下求 z2xy 的最大值解：画出可行域如图所示由 z2xy，得 y2xz，欲求 z 的最大值，可将直线 y2x 向上平移，当经过区域内的点，且满足在 y 轴上的截距 z 最大时，即得 z 的最大值，如图，可知当过点 A 时 z 最大，由xy70，x3y10，得x5，y2，即 A(5，2)，则 zmax25212.规律方法(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 画出约束条件对应的可行域；将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解
8、对应的点；将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值(2)对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数由目标函数的最值求得参数的值 2.(1)(2015长春市第二次调研)设变量 x，y 满足约束条件x2y50 xy20 x0，则目标函数 z2x3y1 的最大值为_(2)(2015辽宁省五校联考)已知 z2xy，x，y 满足yxxy2xm，且 z 的最大值是最小值的 4倍，则 m 的值是_解析：(1)作出可行域如图，令 u2x3y，则 y23xu3，作出直线 y23x，经过平移，当经过 A 点时，u 取得最大值，联立x2y50 xy20，得 A(3，1)，代入得 u
9、max9，zmax10.(2)根据题中所给约束条件yxxy2xm所得的可行域如图根据 y2xz 可知 z 的几何意义为直线在 y 轴上的截距显然 y2xz 在点(1，1)和(m，m)处直线的截距分别取得最大值 3 和最小值 3m，故 343m，解得 m14.答案：(1)10(2)14 考点三_线性规划的实际应用_(2013高考湖北卷)某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A3
10、1 200 元B36 000 元C36 800 元D38 400 元扫一扫 进入 91 导学网()简单的线性规划问题 解析 设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，目标函数为 z1 600 x2 400y，则约束条件为 36x60y900，xy21，yx7，x，yN，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值 zmin36 800(元)答案 C规律方法 利用线性规划解决实际问题的求解步骤如下：(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表格或图形；(2
11、)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目标函数；(3)作图：准确作图，平移找点(最优解)；(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)；(5)检验：根据结果，检验反馈 3.A，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时，在乙机器上加工 1 小时；B 产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加工 3 小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时，乙机器至多只能使用 9 小时A 产品每件利润 300 元，B 产品每件利润 400 元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利
12、润是_元解析：设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，则 x，y 满足约束条件3xy11x3y9xN，yN，生产利润为 z300 x400y.画出可行域，如图阴影部分(包含边界)内的整点，显然 z300 x400y 在点 A 处取得最大值，由方程组3xy11x3y9，解得x3，y2，则 zmax300340021 700.故最大利润是 1 700 元 答案：1 700方法思想数形结合思想求解非线性规划问题 实数 x，y 满足不等式组y0，xy0，2xy20，求 zy1x1的取值范围解 作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示zy1x1y1x（1），所以z 的几何意义是动点(x，y)与定
13、点 A(1，1)所连直线的斜率结合图可知，z 的最小值为直线l1 的斜率，z 的最大值无限接近于直线 l2 的斜率 l1 的斜率 k1kAB，l2 与直线 xy0 平行 由y0，2xy20，得点 B 的坐标为(1，0)，k112.z 的取值范围是12，1.名师点评 1.本题在求 z 的取值范围时，利用数形结合思想，把 zy1x1转化为动点(x，y)与定点(1，1)连线的斜率解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含义的基础上加以处理 2常见代数式的几何意义：(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2)（xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(3)y
14、x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4)ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值 变量 x，y 满足x4y30，3x5y250，x1.(1)设 zyx，求 z 的最小值；(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围解：由约束条件x4y30，3x5y250，x1，作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示 由x1，3x5y250，解得 A1，225.由x1，x4y30，解得 C(1，1)由x4y30，3x5y250，解得 B(5，2)(1)zyxy0 x0，z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率 观察图形可知 zminkOB25.(2)zx2y2 的几何意义是可行域上的点
15、到原点 O 的距离的平方 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|2，dmax|OB|29.2z29.1已知点(3，1)和点(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则 a 的取值范围为()A(24，7)B(7，24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)解析：选 B.根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(a24)0，解得7a24.2在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组|x|y|x|1 的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解析：选 C.|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含 y 轴的两个区域；|x|1 表示 x1 所夹含 y 轴的带状区域3(
16、2014高考湖北卷)若变量 x，y 满足约束条件xy4，xy2，x0，y0，则 2xy 的最大值是()A2 B4C7 D8解析：选 C.根据约束条件画出可行域如图所示，设 z2xy，即 y2xz，作直线 y2x 并向右上方平移，显然，当直线过 xy4 与 xy2 的交点 M(3，1)时，2xy 取得最大值，即 zmax617.4某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，x 和 y 需满足约束条件2xy5xy2x6xN，yN，则该校招聘的教师最多为()A10 名B11 名C12 名D13 名解析：选 D.设 zxy，作出可行域如图阴影部分中的整点，可知当直线 zxy 过 A 点时 z 最大
17、，由x62xy5，得x6y7，故 z 的最大值为 7613.5曲线 f(x)ex(其中 e 为自然对数的底数)在点(0，1)处的切线与直线 yx3 和 x 轴所围成的区域为 D(包含边界)，点 P(x，y)为区域 D 内的动点，则 zx3y 的最大值为()A3 B4C1 D1解析：选 Af(x)ex，f(0)1，曲线 f(x)ex 在点(0，1)处的切线方程为 yx1，其与直线 yx3 及x 轴围成的平面区域如图阴影部分所示，当直线 zx3y 过点 A(3，0)时，目标函数 zx3y取得最大值 3，故选 A.6满足不等式组xy30 xy102y3的点(x，y)构成的区域的面积为_解析：画出不等
18、式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)易知 A 点的坐标为(2，3)，B 点的坐标为(1，2)，从而可知图中阴影部分的面积为12211.答案：17(2014高考湖南卷)若变量 x，y 满足约束条件yx，xy4，yk，且 z2xy 的最小值为6，则 k_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则 y2xz.易知当直线 y2xz 过点 A(k，k)时，z2xy 取得最小值，即 3k6，所以 k2.答案：28(2015长春调研)若实数 x，y 满足12x1，yx1，yx1，则y1x 的取值范围是_解析：由题可知y1x y（1）x0，即为求不等式所表示的平面区域内的点
19、与(0，1)的连线斜率 k 的取值范围，由图可知 k1，5 答案：1，59已知 D 是以点 A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域 D 的不等式组；(2)设点 B(1，6)，C(3，2)在直线 4x3ya0 的异侧，求 a 的取值范围解：(1)直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x5y230，x7y110，4xy100.原点(0，0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为：7x5y230，x7y110，4xy100.(2)根据题意有 4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，得 a 的取值范围是18a
20、0)至少有两个公共点，则实数 a 的取值范围是()A.12，5B(1，5)C.12，5D(1，5解析：选 C.如图，若使以(4，1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线 xy20 相切时，恰有一个公共点，此时 a12212，当圆的半径增大到恰好过点 A(2，2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时 a5，故实数 a 的取值范围是12a5.3给定区域 D：x4y4，xy4，x0，令点集 T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是 zxy 在 D 上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定_条不同的直线解析：画出平面区域 D，如图中阴影部分所示 作出 zxy
21、的基本直线 l0：xy0.经平移可知目标函数 zxy 在点 A(0，1)处取得最小值，在线段 BC 处取得最大值，而集合 T 表示 zxy 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段 BC 上共有 5 个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T 中的点共确定 6 条不同的直线 答案：64(2015宁德质检)设 P 是不等式组y0 x2y1xy3表示的平面区域内的任意一点，向量 m(1，1)，n(2，1)若OP mn(，R)，则 的最大值为_解析：设 P 的坐标为(x，y)，因为OP mn，所以x2y，解得 xy.题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影
22、部分，由图可知，当目标函数 xy 过点 G(3，0)时，取得最大值为 303.答案：35若 x，y 满足约束条件xy1，xy1，2xy2，(1)求目标函数 z12xy12的最值；(2)若目标函数 zax2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求 a 的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得 A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)平移初始直线12xy120，过 A(3，4)时 z 取最小值2，过 C(1，0)时 z 取最大值 1.z 的最大值为 1，最小值为2.(2)直线 ax2yz 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知1a22，解得4a2.故 a 的取值范围是(4，2)6(选做题)某小型工
23、厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料 A，B，C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为 300 元，乙产品每吨的利润为 200 元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？解：设工厂一周内安排生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨，所获周利润为 z 元依据题意，得目标函数为 z300 x200y，约束条件为xy504x1602x5y200y0 x0.欲求目标函数 z300 x200y100(3x2y)的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点 A(40，0)，B(40，10)，C(503，1003)，D(0，40)作直线 3x2y0，当移动该直线过点 B(40，10)时，3x2y 取得最大值，则 z300 x200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)故 zmax300402001014 000.所以工厂每周生产甲产品 40 吨，乙产品 10 吨时，才可获得最大周利润，为 14 000 元
