1、选修44 坐标系与参数方程第1课坐标系 过双基1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.极坐标：有序
2、数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：4常见曲线的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程：r(02)(2)圆心为，半径为r的圆的极坐标方程：2rsin_(0)(3)过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程：(R)或(R)(4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：cos a.(5)过点，与极轴平行的直线的极坐标方程：sin_a(0)1已知曲线的极坐标方程为4cos22，则其直角坐标方程为_解析：由4cos22，得2cos ，即x2y22x，得(x1)2y21.答案：(x
3、1)2y212在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为_解析：把圆2cos 的方程化为(x1)2y21知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x0和x2，从而得这两条切线的极坐标方程为(R)和cos 2.答案：(R)和cos 23点P的直角坐标为(1，)，则点P的极坐标为_解析：因为点P(1，)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.答案：4在极坐标系中，过点A引圆8sin 的一条切线，则切线长为_解析：点A的极坐标化为直角坐标为A(0，1)，圆8sin 的直角坐标方程为x2y28y0，圆的标准方程为x2(y4)216，点A与圆心C(0,4)的
4、距离为|AC|5，所以切线长为3.答案：3清易错1极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件2在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视注意极坐标(，)(，2k)(kZ)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标1圆5cos 5sin 的圆心的极坐标为_解析：将方程 5cos 5sin 两边都乘以得：25cos 5sin ，化成直角坐标方程为x2y25x5y0.圆心的坐标为，化成极坐标为.答案：(答案不唯一)2若圆C的极坐标方程为24cos10，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标
5、系中，圆心C的直角坐标是_解析：因为24cos10，所以22cos 2sin 10，即x2y22x2y10，因此圆心坐标为(1，)答案：(1，)平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：求点A经过变换所得的点A的坐标(2)求直线l：y6x经过：变换后所得到的直线l的方程解(1)设A(x，y)，由伸缩变换：得到由于点A的坐标为，于是x31，y(2)1，A(1，1)为所求(2)设直线l上任意一点P(x，y)，由上述可知，将代入y6x得2y6，yx，即yx为所求方法技巧伸缩变换的解题方法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下得到的方程的求法是将代入yf(x)，得f
6、，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程即时演练1求椭圆y21，经过伸缩变换后的曲线方程解：由得到将代入y21，得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.2若函数yf(x)的图象在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期解：由题意，把变换公式代入曲线y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期为.极坐标与直角坐标的互化典例在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解(1)圆
7、O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.方法技巧1极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以x轴的非负半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(，)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定0，0,2)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求
8、极角应注意判断点M所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角0,2)的值 即时演练在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos 1(02)，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy20.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为(R)极坐标方程的应用典例(2017长春摸拟)已知圆O1和
9、圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解(1)由2知24，所以x2y24；因为22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.方法技巧曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决即时演练(2017云南师大附中适应性考试)在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为(为参数，
10、0)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是(sin cos )5，射线OM：与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)半圆C的普通方程为(x1)2y21(0y1)，又xcos ，ysin ，所以半圆C的极坐标方程是2cos ，.(2)设(1，1)为点P的极坐标，则有解得设(2，2)为点Q的极坐标，则有解得由于12，所以|PQ|12|4，所以线段PQ的长为4.1(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的
11、极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解：(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.2(2016北京高考改编)在极坐标系中，直线cos sin 10与圆2cos 交于A，B两点，求|AB|.解：xcos ，ysin ，直线的直角坐标方程为xy10.2cos ，2(sin2cos2)2cos ，x2y22x.圆的直角坐标方程为(x1)2y21
12、.圆心(1,0)在直线xy10上，AB为圆的直径，|AB|2.3(2015安徽高考改编)在极坐标系中，求圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值解：圆8sin 即28sin ，化为直角坐标方程为x2(y4)216，直线 即tan ，化为直角坐标方程为xy0，圆心(0,4)到直线的距离为2，所以圆上的点到直线距离的最大值为246.4(2015北京高考改编)在极坐标系中，求点到直线(cos sin )6的距离解：点的直角坐标为，直线(cos sin )6的直角坐标方程为xy60.所以点(1，)到直线的距离d1.1在极坐标系中，直线(sin cos )a与曲线2cos 4sin 相交于A，B两点，
13、若|AB|2，求实数a的值解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为xya0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x1)2(y2)25，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r，所以圆心C到直线的距离为 ，解得a5或a1.故实数a的值为5或1.2在极坐标系中，求曲线4cos上任意两点间的距离的最大值解：由4cos可得242cos 2sin ，即得x2y22x2y，配方可得(x1)2(y)24，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解：在sin中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以
14、圆C的半径PC 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .4在极坐标系中，求直线cos1与圆4sin 的交点的极坐标解：cos1化为直角坐标方程为xy2，即yx2.4sin 可化为x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即x22x30，所以x，y1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.5(2017邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离解：(1)如图，由正弦定理得.即sinsin，所求直线的极坐标方程为sin.(2)作OHl，垂足为H，在OH
15、A中，OA1，OHA，OAH，则OHOAsin，即极点到该直线的距离等于.6(2016山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标解：(1)xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos ，sin )，根据题意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin(60)，当30时
16、，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.7(2017南京模拟)已知直线l：sin4和圆C：2kcos(k0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标解：kcos ksin ，2kcos ksin ，圆C的直角坐标方程为x2y2kxky0，即22k2，圆心的直角坐标为.sin cos 4，直线l的直角坐标方程为xy40，|k|2.即|k4|2|k|，两边平方，得|k|2k3，或解得k1，故圆心C的直角坐标为.8(2017贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出
17、解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程解：(1)如图，设圆C上任意一点A(，)，则AOC或.由余弦定理得，424cos4，圆C的极坐标方程为4cos.作图如图所示(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(12cos ，2sin )，设M(x，y)，由Q(5，)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(为参数)，即(为参数)，点M的轨迹的普通方程为(x3)2y21.第2课参数方程过双基1参数方程的概
18、念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)1参数方程(t为参数)与极坐标方程sin 所表示的图形分别是_解析：将参数方程消去参数t得2xy50，所以对应图形为直线由
19、sin 得2sin ，即x2y2y，即x22，对应图形为圆答案：直线、圆2曲线(为参数)与直线yx2的交点坐标为_解析：曲线的直角坐标方程为yx2.将其与直线方程联立得x2x20，x1或x2.由xsin 知，x2不合题意x1，y1，交点坐标为(1,1)答案：(1,1)3设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为_解析：曲线C的参数方程为(为参数)，(x2)2(y1)29，圆心(2，1)到直线l的距离d.又3，有2个点答案：24参数方程(t为参数)化为普通方程为_解析：x，y4343x.又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程为3xy40(x
20、0,2)答案：3xy40(x0,2)清易错1在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致否则不等价2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.1直线yx1上的点到曲线上的点的最近距离是_解析：由得(x2)2(y1)21，圆心坐标为(2,1)，故圆心到直线xy10的距离d2，直线上的点到圆上的点的最近距离是dr21.答案：212直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_解析：直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则
21、圆心(2,0)到直线的距离为，从而有 ，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切线的倾斜角或.答案：或 参数方程和普通方程的互化典例(2016重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C的参数方程是(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|，求实数m的值解(1)由得的平方加的平方得曲线C的普通方程为：x2(ym)21.由x1t得tx1，代入y4t得y42(x1)，所以直线l的普通方程为y2x2.(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d，所以由勾股定理得221，解得m3或m1.方法技巧
22、将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解 即时演练将下列参数方程化为普通方程(1)(k为参数)；(2)(为参数)解：(1)两式相除，得k，将其代入x得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,2直线的
23、参数方程典例(2017哈师大附中模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解(1)曲线C：(x1)2(y2)216，直线l：(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2(23)t30，设t1，t2是方程的两个根，则t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题(2)对于形如(t为参数)当a2b21时，应先化为标准
24、形式后才能利用t的几何意义解题方法技巧即时演练已知直线l：xy10与抛物线yx2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A，B两点的距离之积解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，把它代入抛物线的方程，得t2t20，由根与系数的关系得t1t2，t1t22，由参数t的几何意义可知|AB|t1t2|，|MA|MB|t1t2|2.极坐标、参数方程的综合应用典例(2016全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和
25、C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.方法技巧处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者
26、利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的即时演练(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方
27、程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.1(2016全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解：(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的
28、极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以直线l的斜率为或.法二：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得yxtan .设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kxy0.由圆C的方程(x6)2y225知，圆心坐标为(6,0)，半径为5.又|AB|，由垂径定理及点到直线的距离公式得 ，即，整理得k2，解得k，即直线l的斜率为.2(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2co
29、s .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.3(2014全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在
30、C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为G在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即. 1(2017吉林实验中学)已知椭圆C：1，直线l：(t为参数)(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等，求点P的坐标解：(1)椭圆C的参数方程为：(为参数)，直线
31、l的普通方程为xy90.(2)设P(2cos ，sin )，则|AP| 2cos ，P到直线l的距离d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2cos21，得sin ，cos .故P.2已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值解：(1)曲线C1：(x4)2(y3)21，曲线C2：1，曲线C1是以(4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时
32、，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M24cos ，2sin .曲线C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|，从而当cos ，sin 时，d取最小值.3(2017辽宁五校联考)倾斜角为的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(为参数)交于不同的两点M1，M2.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；(2)求|PM1|PM2|的取值范围解：(1)曲线C的普通方程为1，直线l的参数方程为(t为参数)(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8tcos )28(2tsin )232，整理得(8sin2cos2)t2(16cos 32sin
33、 )t640，由(16cos 32sin )2464(8sin2cos2)0，得cos sin ，故，|PM1|PM2|t1t2|.4(2017山西模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(2，3)，求|PA|PB|的值解：(1)4sin4sin 4cos ，所以24sin 4cos ，所以x2y24x4y0，即(x2)2(y2)28；直线l的普通方程为xy230.(2)把直线l的参数方程代入到圆C：x2
34、y24x4y0中，得t2(45)t330，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t233.点P(2，3)显然在直线l上，由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA|PB|t1t2|33，所以|PA|PB|33.5(2017贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为4cos (0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0)，射线，与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A，B，C.(1)求证：|OB|OC|OA|；(2)当时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值解：(1)证明：依题意|OA|4cos ，|OB|4cos，|OC|4cos
35、，则|OB|OC|4cos4cos2(cos sin )2(cos sin )4cos |OA|.(2)当时，B，C两点的极坐标分别为，化为直角坐标为B，C，所以经过点B，C的直线方程为y(x1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为的直线，故m2，.6(2017唐山模拟)将曲线C1：x2y21上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)得到曲线C2，点A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|BD|.解：(1)由题意可得C2：y21，l：
36、(t为参数)(2)将代入y21，整理得5t24t40.设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，且|AC|t1，|AD|t2.又|AB|2|OA|cos 30，故|AC|BD|AC|AC|AD|AB|t1t2.7(2016长春模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为8cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值解：(1)对于曲线C2有8cos，即24cos 4sin ，因此曲线C2的直角坐标方程为x2y24x4y
37、0，即(x2)2(y2)216，其表示一个圆(2)将C1的参数方程代入C2的方程可得，t22sin t130，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t22sin ，t1t213.所以|AB|t1t2|，因此|AB|的最大值为8，最小值为2.8(2017云南一模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围解：(1)直线l的普通方程为xy30.曲线C的直角坐标方程为3x2y23.(2)曲线C的直角坐标方程为3x2y23，即x21，曲线C上的点的坐标可表示为(cos ，sin )d.d的最小值为，d的最大值为.d，即d的取值范围为.
