1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 2 课时 等差数列及其前 n 项和 考纲点击1.等差数列的通项公式,求和公式的基本量的计算.2.等差数列的判定.3.等差数列的递推与不等式结合.1(2015高考课标全国卷)设 Sn 是等差数列an的前 n 项和若 a1a3a53,则 S5()A5 B7C9D11解析:选 A.a1a52a3,a1a3a53a33,a31,S55(a1a5)25a35.2(2013高考课标卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sm12,Sm0,Sm13,则 m()A3B4C5D6解析:选 C.an是等差数列,Sm12,Sm0,am
2、SmSm12.Sm13,am1Sm1Sm3,dam1am1.又 Smm(a1am)2m(a12)20,a12,am2(m1)12,m5.3(2015高考课标卷)已知an是公差为 1 的等差数列,Sn为an的前 n 项和,若 S84S4,则 a10()A.172B192C10D12解析:选 B.等差数列的公差为 1,S88a18(81)218a128,S44a16.S84S4,8a1284(4a16),解得 a112,a10a19d129192.故选 B.4(2016高考全国甲卷)Sn 为等差数列an的前 n 项和,且a11,S728.记 bnlg an,其中x表示不超过 x 的最大整数,如0.
3、90,lg 991.(1)求 b1,b11,b101;(2)求数列bn的前 1 000 项和解:(1)设an的公差为 d,据已知有 721d28,解得 d1.所以an的通项公式为 ann.b1lg 10,b11lg 111,b101lg 1012.(2)因为 bn0,1n10,1,10n100,2,100n1 000,3,n1 000,所以数列bn的前 1 000 项和为 1902900311 893.考点一 等差数列基本量的计算命题点 方程(组)思想1等差数列的定义 如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差 数 列 的,通 常 用 字 母
4、表 示,定 义 的 表 达 式为 2公差dan1and同一个常数2等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么 叫做a与b的等差中项,且 3通项公式 如果等差数列an 的首项为a1,公差为d,那么通项公式为an 4前n项和公式:Sn(a1an)n2Aab2a1(n1)d,nN*na1n(n1)d2A1(2017河北石家庄质检)已知等差数列an满足 a23,SnSn351(n3),Sn100,则 n 的值为()A8 B9C10D11解析:选 C.由 SnSn351 得,an2an1an51,所以 an117,又 a23,Snn(a2an1)2100,解得 n10.2(2017江苏无锡一模)已知数列a
5、n中,a11,a22,当整数 n1 时,Sn1Sn12(SnS1)都成立,则 S15解析:由 Sn1Sn12(SnS1)得(Sn1Sn)(SnSn1)2S12,即 an1an2(n2),所以数列an从第二项起构成等差数列,则 S151246828211.答案:211(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d,然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知三求二,体现了方程思想考点二 等差数列的判定或证明命题点 1 定义法对于数列an,若 anan1d,(n2),则an为等差数列 1(2
6、017河南内黄月考)已知函数 yf(x)对任意的实数 x 都有1f(x2)1f(x1)1,且 f(1)1,则 f(2 016)()A.12 015 B.12 016C2 014D2 015考点二 等差数列的判定或证明命题点 1 定义法对于数列an,若 anan1d,(n2),则an为等差数列 1(2017河南内黄月考)已知函数 yf(x)对任意的实数 x 都有1f(x2)1f(x1)1,且 f(1)1,则 f(2 016)()A.12 015 B.12 016C2 014D2 015解析:选 B.由已知可得1f(x2)1f(x1)1,所以1f(x)为等差数列,又1f(1)1,d1,则1f(x)
7、x,即1f(2 016)2 016,故 f(2 016)12 016.2数列an 满足 a11,a22,an22an1an2.(1)设 bnan1an,证明bn 是等差数列;(2)求an 的通项公式解:(1)证明:由 an22an1an2 得 an2an1an1an2,即 bn1bn2.又 b1a2a11,所以bn 是首项为 1,公差为 2 的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)2n1,即an1an2n1.于是nk=1(ak1ak)nk=1(2k1),所以an1a1n2,即an1n2a1.又a11,所以an 的通项公式为ann22n2.从题目隐含的递推关系中推导出形如“anan1d”的形式
8、,即可判断为等差数列此时 n2 或者推导出 an1and.命题点 2 等差中项法对于数列an,如果验证 2an1anan2(n3,nN*)都成立,则an 为等差数列 3设an是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn,且a5,a3,a4 成等差数列(1)求数列an的公比;(2)证明:对任意 kN*,Sk2,Sk,Sk1 成等差数列解:(1)设数列an的公比为 q(q0,q1),由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3a5a4,即 2a1q2a1q4a1q3,由 a10,q0 得 q2q20,解得 q12,q21(舍去),所以 q2.(2)证明:法一:对任意 kN*,Sk2Sk12S
9、k(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak1 2ak1ak1(2)0,所以,对任意 kN*,Sk2,Sk,Sk1 成等差数列 法二:对任意 kN*,2Sk2a1(1qk)1q,Sk2Sk1a1(1qk2)1qa1(1qk1)1q a1(2qk2qk1)1q,2Sk(Sk2Sk1)2a1(1qk)1qa1(2qk2qk1)1q a11q2(1qk)(2qk2qk1)a1qk1q(q2q2)0,因此,对任意 kN*,Sk2,Sk,Sk1 成等差数列2an1anan2(n3,nN*),体现了an 中的相邻三项 an2,an1,an 间的递推关系,其中 an1 为 an2,an 的等差中项考点三
10、等差数列的性质及应用命题点 等差数列性质的灵活选用1通项公式的推广:an,(n,mN*)2若an 为等差数列,且klmn,(k,l,m,nN*),则 3若 an 是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为的等差数列 4数列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列am(nm)dakalamanmd1(2016高考全国乙卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27,a108,则 a100()A100B99C98D97解析:选 C.an是等差数列,设其公差为 d,S99(a1a9)29a527,a53,又a108,da10a55835 1 a100a5(n5)d3(10
11、05)198.2在等差数列an中,若 a3a4a5a6a725,则 a2a8解析:利用等差数列的性质可得 a3a7a4a62a5,从而a3a4a5a6a75a525,故 a55,所以 a2a82a510.答案:103在等差数列an中,a129,S10S20,则数列an的前 n项和 Sn 的最大值为()AS15BS16CS15 或 S16DS17解析:选 A.a129,S10S20,10a11092d20a120192d,解得 d2,Sn29nn(n1)2(2)n230n(n15)2225.当 n15 时,Sn 取得最大值4(2017日照模拟)等差数列an的前 m 项和为 30,前 3m 项和为
12、 90,则它的前 2m 项和为解析:法一:由 Sm,S2mSm,S3mS2m 成等差数列,可得 2(S2mSm)SmS3mS2m,即 S2m3SmS3m333090360.法二:由 Snna1n(n1)2d,得Snn a1(n1)d2,所以Snn 是以 a1 为首项,d2为公差的等差数列,从而Smm,S2m2m,S3m3m成等差数列,所以SmmS3m3m2S2m2m,所以 S2mS3m3 Sm303060.答案:60(1)当公差d0 时,an是关于 n 的一次函数,SnAn2Bn(A0)是关于 n 的无常数项的二次函数,所以当 A0 时,其图象开口向上,Sn 有最小值;当 A0 时,Sn 有最
13、大值特别注意 nN*,当 B2A0,但 B2A不是正整数时,最值在离 B2A最近的正整数处取得(2)对于等差数列an,则Snn 也是等差数列等差数列在实际中的应用典例 一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到 11 月份新款家电 M 的部分销售资料资料显示:11 月 2 日开始,每天的销售量比前一天多 t 台(t 为常数),期间某天由于商家提高了家电 M 的价格,从当天起,每天的销售量比前一天少 2 台.11 月份前 2 天共售出 8 台,11 月 5 日的销售量为 18 台(1)若商家在 11 月 1 日至 15 日之间未提价,试求这 15 天家电 M 的总销售量;(2)若 11 月 1 日
14、至 15 日的总销售量为 414 台,则 11 月份的哪一天,该商场售出家电 M 的台数最多?并求这一天售出的台数解(1)根据题意,商家在 11 月 1 日至 15 日之间家电 M 每天的销售量组成公差为 t 的等差数列an,a1a28,a518,2a1t8,a14t18,解得a12,t4,.因此,这 15 天家电 M 的总销售量为 S15152151424450(台)(2)设从 11 月 1 日起,第 n 天的销售量最多,1n30,nN*,由(1),若商家在 11 月 1 日至 15 日之间未提价,则这 15 天家电 M 的总销售量为 450 台,而 450414 不符合题意,故 n15;若
15、 n5,则 S1552542410161092(2)1205.因此,前 n 天每天的销售量组成一个首项为 2,公差为 4 的等差数列,第 n1 天开始每天的销售量组成首项为 4n4,公差为2 的等差数列因此,S15 2nn(n1)24(15 n)(4n 4)(15n)(14n)2(2)3n293n270,由已知条件,得 S15414,即3n293n270414,解得 n12 或 n19(舍去 19)n12,出售家电 M 的台数为 a12211446 台故在11 月 12 日,该商场售出家电 M 的台数最多,这一天的销售量为46 台 方法探究(1)由题意,在 11 月 1 日至 15 日之间该商
16、场家电 M 每天的销售量组成公差为 t 的等差数列an,结合等差数列的通项公式解出首项 a1 和公差 t,从而由等差数列求和公式得到这15 天家电 M 的总销售量;(2)设从 11 月 1 日起,第 n 天的销售量最多(1n30,nN*)根据(1)前 15 天的销售量大于 414,可得 n15;通过假设 n5 算出销售量为 1205.因此 n为大于 5 而小于 15 的整数,因此结合题中数据列出 S15 关于 n 的式子,解方程 S15414,即可得到 n12,可得在 11 月 12 日,该商场售出家电 M 的台数最多,这一天的销售量为 46 台某工业城市按照“十二五”(2011 年至 201
17、5 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污现以降低 SO2 的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少 0.3 万吨,已知该城市 2011 年 SO2 的年排放量约为 9.3 万吨(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放 SO2 约多少吨?(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度在 2012 年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自 2013 年起,SO2 的年排放量每年比上一年减少的百分率为 p,为使 2020 年这一年 SO2 的年排放量控制在 6 万吨以内,求 p 的取值范围(参考数据:8 230.950 5,9 23
18、0.955 9)解:(1)设“十二五”期间,该城市共排放 SO2 约 y 万吨,依题意,2011 年至 2015 年 SO2 的年排放量构成首项为 9.3,公差为0.3 的等差数列,所以 y59.35(51)2(0.3)43.5(万吨)所以按原计划“十二五”期间该城市共排放 SO2 约 43.5 万吨(2)由已知得,2012 年的 SO2 年排放量为 930.39(万吨),所以 2012 年至 2020 年 SO2 的年排放量构成首项为 9,公比为 1p 的等比数列 由题意得 9(1p)86,由于 0p1,所以 1p8 23,所以 1p0.950 5,解得 p4.95%.所以 SO2 的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围为4.95%p1.1考前必记(1)等差数列的定义(2)等差数列的通项公式与前 n 项和公式(3)等差数列的性质2答题指导(1)看到求等差数列的基本量时,想到从方程入手,若能应用性质,可大大简化解题过程(2)看到等差数列的判定,想到等差数列的定义和等差中项的概念(3)看到等差数列的前 n 项和的最值,想到二次函数的应用课时规范训练