1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 2 课时 等差数列及其前 n 项和 考纲点击1.等差数列的通项公式，求和公式的基本量的计算.2.等差数列的判定.3.等差数列的递推与不等式结合.1(2015高考课标全国卷)设 Sn 是等差数列an的前 n 项和若 a1a3a53，则 S5()A5 B7C9D11解析：选 A.a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55（a1a5）25a35.2(2013高考课标卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则 m()A3B4C5D6解析：选 C.an是等差数列，Sm12，Sm0，am
2、SmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又 Smm（a1am）2m（a12）20，a12，am2(m1)12，m5.3(2015高考课标卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和，若 S84S4，则 a10()A.172B192C10D12解析：选 B.等差数列的公差为 1，S88a18（81）218a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得 a112，a10a19d129192.故选 B.4(2016高考全国甲卷)Sn 为等差数列an的前 n 项和，且a11，S728.记 bnlg an，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.
3、90，lg 991.(1)求 b1，b11，b101；(2)求数列bn的前 1 000 项和解：(1)设an的公差为 d，据已知有 721d28，解得 d1.所以an的通项公式为 ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为 bn0，1n10，1，10n100，2，100n1 000，3，n1 000，所以数列bn的前 1 000 项和为 1902900311 893.考点一 等差数列基本量的计算命题点 方程(组)思想1等差数列的定义 如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 数 列 的，通 常 用 字 母
4、表 示，定 义 的 表 达 式为 2公差dan1and同一个常数2等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么 叫做a与b的等差中项，且 3通项公式 如果等差数列an 的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an 4前n项和公式：Sn（a1an）n2Aab2a1(n1)d，nN*na1n（n1）d2A1(2017河北石家庄质检)已知等差数列an满足 a23，SnSn351(n3)，Sn100，则 n 的值为()A8 B9C10D11解析：选 C.由 SnSn351 得，an2an1an51，所以 an117，又 a23，Snn（a2an1）2100，解得 n10.2(2017江苏无锡一模)已知数列a
5、n中，a11，a22，当整数 n1 时，Sn1Sn12(SnS1)都成立，则 S15解析：由 Sn1Sn12(SnS1)得(Sn1Sn)(SnSn1)2S12，即 an1an2(n2)，所以数列an从第二项起构成等差数列，则 S151246828211.答案：211(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想考点二 等差数列的判定或证明命题点 1 定义法对于数列an，若 anan1d，(n2)，则an为等差数列 1(2
6、017河南内黄月考)已知函数 yf(x)对任意的实数 x 都有1f（x2）1f（x1）1，且 f(1)1，则 f(2 016)()A.12 015 B.12 016C2 014D2 015考点二 等差数列的判定或证明命题点 1 定义法对于数列an，若 anan1d，(n2)，则an为等差数列 1(2017河南内黄月考)已知函数 yf(x)对任意的实数 x 都有1f（x2）1f（x1）1，且 f(1)1，则 f(2 016)()A.12 015 B.12 016C2 014D2 015解析：选 B.由已知可得1f（x2）1f（x1）1，所以1f（x）为等差数列，又1f（1）1，d1，则1f（x）
7、x，即1f（2 016）2 016，故 f(2 016)12 016.2数列an 满足 a11，a22，an22an1an2.(1)设 bnan1an，证明bn 是等差数列；(2)求an 的通项公式解：(1)证明：由 an22an1an2 得 an2an1an1an2，即 bn1bn2.又 b1a2a11，所以bn 是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是nk=1（ak1ak）nk=1(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an 的通项公式为ann22n2.从题目隐含的递推关系中推导出形如“anan1d”的形式
8、，即可判断为等差数列此时 n2 或者推导出 an1and.命题点 2 等差中项法对于数列an，如果验证 2an1anan2(n3，nN*)都成立，则an 为等差数列 3设an是公比不为 1 的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且a5，a3，a4 成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意 kN*，Sk2，Sk，Sk1 成等差数列解：(1)设数列an的公比为 q(q0，q1)，由 a5，a3，a4 成等差数列，得 2a3a5a4，即 2a1q2a1q4a1q3，由 a10，q0 得 q2q20，解得 q12，q21(舍去)，所以 q2.(2)证明：法一：对任意 kN*，Sk2Sk12S
9、k(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak1 2ak1ak1(2)0，所以，对任意 kN*，Sk2，Sk，Sk1 成等差数列 法二：对任意 kN*，2Sk2a1（1qk）1q，Sk2Sk1a1（1qk2）1qa1（1qk1）1q a1（2qk2qk1）1q，2Sk(Sk2Sk1)2a1（1qk）1qa1（2qk2qk1）1q a11q2(1qk)(2qk2qk1)a1qk1q(q2q2)0，因此，对任意 kN*，Sk2，Sk，Sk1 成等差数列2an1anan2(n3，nN*)，体现了an 中的相邻三项 an2，an1，an 间的递推关系，其中 an1 为 an2，an 的等差中项考点三
10、等差数列的性质及应用命题点 等差数列性质的灵活选用1通项公式的推广：an，(n，mN*)2若an 为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则 3若 an 是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为的等差数列 4数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列am(nm)dakalamanmd1(2016高考全国乙卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100()A100B99C98D97解析：选 C.an是等差数列，设其公差为 d，S99（a1a9）29a527，a53，又a108，da10a55835 1 a100a5(n5)d3(10
11、05)198.2在等差数列an中，若 a3a4a5a6a725，则 a2a8解析：利用等差数列的性质可得 a3a7a4a62a5，从而a3a4a5a6a75a525，故 a55，所以 a2a82a510.答案：103在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前 n项和 Sn 的最大值为()AS15BS16CS15 或 S16DS17解析：选 A.a129，S10S20，10a11092d20a120192d，解得 d2，Sn29nn（n1）2(2)n230n(n15)2225.当 n15 时，Sn 取得最大值4(2017日照模拟)等差数列an的前 m 项和为 30，前 3m 项和为
12、 90，则它的前 2m 项和为解析：法一：由 Sm，S2mSm，S3mS2m 成等差数列，可得 2(S2mSm)SmS3mS2m，即 S2m3SmS3m333090360.法二：由 Snna1n（n1）2d，得Snn a1(n1)d2，所以Snn 是以 a1 为首项，d2为公差的等差数列，从而Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，所以SmmS3m3m2S2m2m，所以 S2mS3m3 Sm303060.答案：60(1)当公差d0 时，an是关于 n 的一次函数，SnAn2Bn(A0)是关于 n 的无常数项的二次函数，所以当 A0 时，其图象开口向上，Sn 有最小值；当 A0 时，Sn 有最
13、大值特别注意 nN*，当 B2A0，但 B2A不是正整数时，最值在离 B2A最近的正整数处取得(2)对于等差数列an，则Snn 也是等差数列等差数列在实际中的应用典例 一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到 11 月份新款家电 M 的部分销售资料资料显示：11 月 2 日开始，每天的销售量比前一天多 t 台(t 为常数)，期间某天由于商家提高了家电 M 的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少 2 台.11 月份前 2 天共售出 8 台，11 月 5 日的销售量为 18 台(1)若商家在 11 月 1 日至 15 日之间未提价，试求这 15 天家电 M 的总销售量；(2)若 11 月 1 日
14、至 15 日的总销售量为 414 台，则 11 月份的哪一天，该商场售出家电 M 的台数最多？并求这一天售出的台数解(1)根据题意，商家在 11 月 1 日至 15 日之间家电 M 每天的销售量组成公差为 t 的等差数列an，a1a28，a518，2a1t8，a14t18，解得a12，t4，.因此，这 15 天家电 M 的总销售量为 S15152151424450(台)(2)设从 11 月 1 日起，第 n 天的销售量最多，1n30，nN*，由(1)，若商家在 11 月 1 日至 15 日之间未提价，则这 15 天家电 M 的总销售量为 450 台，而 450414 不符合题意，故 n15；若
15、 n5，则 S1552542410161092(2)1205.因此，前 n 天每天的销售量组成一个首项为 2，公差为 4 的等差数列，第 n1 天开始每天的销售量组成首项为 4n4，公差为2 的等差数列因此，S15 2nn（n1）24(15 n)(4n 4)（15n）（14n）2(2)3n293n270，由已知条件，得 S15414，即3n293n270414，解得 n12 或 n19(舍去 19)n12，出售家电 M 的台数为 a12211446 台故在11 月 12 日，该商场售出家电 M 的台数最多，这一天的销售量为46 台 方法探究(1)由题意，在 11 月 1 日至 15 日之间该商
16、场家电 M 每天的销售量组成公差为 t 的等差数列an，结合等差数列的通项公式解出首项 a1 和公差 t，从而由等差数列求和公式得到这15 天家电 M 的总销售量；(2)设从 11 月 1 日起，第 n 天的销售量最多(1n30，nN*)根据(1)前 15 天的销售量大于 414，可得 n15；通过假设 n5 算出销售量为 1205.因此 n为大于 5 而小于 15 的整数，因此结合题中数据列出 S15 关于 n 的式子，解方程 S15414，即可得到 n12，可得在 11 月 12 日，该商场售出家电 M 的台数最多，这一天的销售量为 46 台某工业城市按照“十二五”(2011 年至 201
17、5 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污现以降低 SO2 的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少 0.3 万吨，已知该城市 2011 年 SO2 的年排放量约为 9.3 万吨(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放 SO2 约多少吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度在 2012 年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自 2013 年起，SO2 的年排放量每年比上一年减少的百分率为 p，为使 2020 年这一年 SO2 的年排放量控制在 6 万吨以内，求 p 的取值范围(参考数据：8 230.950 5，9 23
18、0.955 9)解：(1)设“十二五”期间，该城市共排放 SO2 约 y 万吨，依题意，2011 年至 2015 年 SO2 的年排放量构成首项为 9.3，公差为0.3 的等差数列，所以 y59.35（51）2(0.3)43.5(万吨)所以按原计划“十二五”期间该城市共排放 SO2 约 43.5 万吨(2)由已知得，2012 年的 SO2 年排放量为 930.39(万吨)，所以 2012 年至 2020 年 SO2 的年排放量构成首项为 9，公比为 1p 的等比数列 由题意得 9(1p)86，由于 0p1，所以 1p8 23，所以 1p0.950 5，解得 p4.95%.所以 SO2 的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围为4.95%p1.1考前必记(1)等差数列的定义(2)等差数列的通项公式与前 n 项和公式(3)等差数列的性质2答题指导(1)看到求等差数列的基本量时，想到从方程入手，若能应用性质，可大大简化解题过程(2)看到等差数列的判定，想到等差数列的定义和等差中项的概念(3)看到等差数列的前 n 项和的最值，想到二次函数的应用课时规范训练