1、回扣9计数原理1分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称加法原理)2分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称乘法原理)3排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取
2、出m个元素的排列数，用A表示(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，An(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为A，这里规定0！1.4组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示(3)组合数的计算公式：C，由于0！1，所以C1.(4)组合数的性质：CC；CCC.5二项式定理(ab)nCanCan1b1Cankbk
3、Cbn(nN*)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数式中的Cankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即展开式的第k1项：Tk1Cankbk.6二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.7二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C
4、，当k时，二项式系数是递增的；当k时，二项式系数是递减的当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCCC2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.1关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只
5、有各个步骤都完成了才算完成这件事(2)混合问题一般是先分类再分步(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数3排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排(2)合理分类与准确分步(3)排列、组合混合问题先选后排(4)相邻问题捆绑处理(5)不相邻问题插空处理(6)定序问题排除
6、法处理(7)分排问题直排处理(8)“小集团”排列问题先整体后局部(9)构造模型(10)正难则反，等价条件4对于二项式定理应用时要注意(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，1.(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.1从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的
7、抽取方法数为()A224 B112C56 D28答案B解析根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC112.25人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有()A12种B24种C48种D60种答案C解析可先排甲、乙两人，有A2(种)排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有A24(种)排法，由分步乘法计数原理，得共有22448(种)排法，故选C.3从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有()A210种B420种C630种D840种答案B解析因
8、为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女若选出的3位教师是1男2女，则共有CCA180(种)不同的选派方法；若选出的3位教师是2男1女，则共有CCA240(种)不同的选派方法，所以共有180240420(种)不同的方案，故选B.4将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、清华大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A150种B180种C240种D540种答案A解析先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有CC25(种)，再将三组全排列有A6(种)，故总的方法数有256150(种)5(2016四川)用数字1,2,3,4
9、,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48C60 D72答案D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种选法，再将剩下的4个数字排列有A种排法，则满足条件的五位数有CA72(个)故选D.6.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为()A180 B240C360 D420答案D解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方法有
10、2A种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A种，所以最多有A2AA420(种)7某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为()A408 B480C552 D816答案A解析数学在第(1,2)节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故有CA96(种)排法；数学在第(2,3)节，从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有CCA54(种)排法；数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在
11、第1节时，其他任意排，故有A24(种)排法，当英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，有CAA36(种)排法，故共有3(2436)180(种)排法；数学在第(6,7)节时，当英语在第一节时，其他任意排，故有A24(种)排法，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有CCA54(种)排法，故有245478(种)排法，根据分类加法计数原理，共有965418078408(种)排法故选A.8设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中
12、含x4的项为()A15x4B15x4C20ix4D20ix4答案A解析由题可知，含x4的项为Cx4i215x4.故选A.9在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B32C0 D1答案C解析依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5.因此，令x1，则该二项展开式中的各项系数的和等于50，故选C.10已知(1x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，且a0a1a2an126，那么n的展开式中的常数项为()A15 B15C20 D20答案D解析令x1得a0a1a2an2222n22n121262n11282n127n6，又Tk1C(
13、)6kkC(1)kx3k，所以由3k0，得常数项为C20.故选D.11已知等比数列an的第5项是二项式4展开式中的常数项，则a3a7_.答案36解析4的展开式的通项为Tk1Cx42k，令42k0，得k2，常数项为C6，即a56.an为等比数列，a3a7a6236.12书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有_种答案336解析由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有A6(种)方法；第二步：再插入第二本，插入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中，有A7(
14、种)方法；第三步：再插入第三本，插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中，有A8(种)方法，共有678336(种)不同的插入方法13某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分别乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_种答案24解析分类讨论，有2种情形孪生姐妹乘坐甲车，则有CCC12(种)乘车方式；孪生姐妹不乘坐甲车，则有CCC12(种)乘车方式根据分类加法计数原理可知，共有24种乘车方式14已知(12x)6a0a1xa2x2a
15、6x6，则|a0|a1|a2|a6|_.(用数字作答)答案729解析|a0|a1|a2|a6|相当于(12x)6的展开式中各项系数绝对值的和，令x1，得|a0|a1|a2|a6|36729.15如果n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是_答案21解析n的展开式中各项系数之和为n2n128，所以n7，所以n7，其展开式的通项为Tk1C(3x)7kk.由73，得k6，所以的系数为(1)631C21.16(x2x1)10展开式中x3项的系数为_答案210解析(x2x1)101(x2x)10的展开式的通项公式为Tk1C(x2x)k，对于(x2x)k通项公式为Tm1Cx2k2m(x)m(1)mCx2km，令2km3且mk10，mN，kN，得k2，m1或k3，m3，(x2x1)10的展开式x3系数为CC(1)CC(1)3210.
