1、高考资源网（） 您身边的高考专家12函数的极值授课提示：对应学生用书第43页一、函数极值的定义1极大值点与极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2极小值点与极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值3极值与极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点二、求极值点的一般步骤1求出导数f(x)；2解方程f(x)0；3对于方程f(x
2、)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；(2)若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；(3)若f(x)在x0两侧的符号“相同”，则x0不是极值点想一想1同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？提示：不一定，极值是一个局部概念例如函数y2x在x2时，取y极大值8；而当x2时，取y极小值8.2导数为0的点一定是极值点吗？导数为0是该点为极值点的什么条件？提示：只有当这点左右两侧导数异号时为极值点，否则不是，如f(x)x3，在x0处导数为0，但不是极值点，由此可得导数为0
3、不是该点为极值点的充分条件；又如f(x)|x|，x0为其极值点，但f(x)在x0处不可导，由此可得，某点为极值点也不是该点导数为0的充分条件综上，导数为0是该点为极值点的既不充分也不必要条件练一练3函数f(x)x2ln x的极值点为()A0,1，1B.C D.，解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值2在f(x0)存在时，f(x0)0只是函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件，必须再加
4、上在x0左右两侧导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的错误 1.已知f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是()A2acB4acC3a Dc解析：由导函数f(x)的图像知，当0x0；当x2时，f(x)0，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，yf(x)为(0，)上的增函数，此时f(x)无极值当a0时，函数f(x)无极值当a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点解析：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1.设g(x)x2ax2，对于二次方程g(x)0, 判别式a28.当a280，即0a0都有f(x
5、)0，此时f(x)在(0，)上是增函数，无极值点当a280，即a2时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0，此时f(x)在(0，)上也是增函数，无极值点当a280，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实数根x1，x2，0x10；当x(1,2)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c.故由题意得58c13，即c1.6设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围解析：(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x或x0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递
6、增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图像的大致形状及走向如图所示所以，当54a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围解析：(1)由题意，知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，对于任意的x(0，)，exax0恒成立，若x1，则f(x)0，若0x1，则f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)(2)由题目条件，可知f(x)0在x上有三个不同的实根，即exax0在x上有两个不同的实根，且ae.
7、令g(x)，则g(x).当x0，当1x2时，g(x)0，当x1时，g(x)单调递增，当1x0，实数a的取值范围为(2，e)数形结合思想在求解有关极值问题中的综合应用典例设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解析(1)令f(x)3x230，得x11，x21.又因为当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，如图(1)，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.综上，当a2或a2时方程恰有两个实数根感悟提高此类问题一般运用导数转化为函数性质的问题解决，画出函数的示意图，利用数形结合思想是解决该类问题的常用手段- 9 - 版权所有高考资源网
