1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学习目标：1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量(重点).2.会用平面的法向量证明平行与垂直(重点).3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题(难点)自 主 预 习探 新 知1平面的法向量及其应用(1)平面的法向量：如果向量n的基线与平面垂直，则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面正交(2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用n0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式(3)两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面，的法向量，则或与重合n1n2；n1n2n1n20
2、.思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？提示平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系平面的法向量不唯一，它们都是共线的2三垂线定理及其逆定理：(1)射影：已知平面和一点A，过点A作的垂线l与平面相交于点A，则A就是点A在平面内的正射影，简称射影图形F上所有的点在平面内的射影所成的集合F，叫做图形F在平面内的射影(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直基础自测1思考辨析(1)已
3、知直线l垂直于平面，向量a与直线l平行，则a是平面的一个法向量()(2)若直线l是平面外的一条直线；直线m垂直于l在平面内的投影，则l与m垂直()(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量()提示(1)不一定当a0时，也满足al，尽管l垂直于平面，a也不是平面的法向量(2)不一定若直线m在平面外，例如m，尽管m垂直于直线l在平面内的投影，也不能得出ml的结论(3)2设平面的法向量的坐标为(1,2，2)，平面的法向量的坐标为(2，4，k)若，则k等于()A2 B4C4 D2C因为，所以，所以k4.3已知平面内的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则该平面的一个法向量为 ()A
4、(1，1,1)B(2，1,1)C(2,1,1)D(1,1，1)C显然a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，则有令z1，得x2，y1，n(2,1,1)合 作 探 究攻 重 难求平面的法向量如图3210所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【导学号：33242286】图3210解因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0)，E，B(1,0,0)，C(1，0)，于是，(1，
5、0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y1，则xz.所以平面ACE的一个法向量为n(，1，)规律方法利用待定系数法求法向量的解题步骤：跟踪训练1如图3211所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAB平面ABCD，PAB是边长为1的正三角形，ABC60，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量图3211解因为PAPB，F为AB的中点，所以PFAB，又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB.所以PF平面ABCD，因为ABBC，ABC60，所以ABC是等边三角形，所以CFAB.以F为坐标原点，建立
6、空间直角坐标系(如图所示)由题意得F(0,0,0)，P，D，C，E.所以，.设平面DEF的法向量为m(x，y，z)则即所以令y2，则x，z2.所以平面DEF的一个法向量为m(，2，2).利用法向量证明空间中的位置关系探究问题1平面的法向量有何特点？提示设向量n是平面的一个法向量则：(1)n是一个非零向量(2)向量n与平面垂直(3)平面的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面2用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？提示设直线l，m的方向向量分别为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，平面，
7、的法向量分别为u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系lmabab0a1b1a2b2a3b30lauau，Ra1u1，a2u2，a3u3uvuv0u1v1u2v2u3v30如图3212所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点图3212(1)证明：C1M平面ADE；(2)平面ADE平面A1D1F. 【导学号：33242287】思路探究建立空间坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解解(1)以D为原点，向量、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则D(0,0,0)
8、，A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，M，(1,0,0)，.设平面ADE的法向量为m(a，b，c)，则令c2，得m(0，1,2)，m(0，1,2)0110，m.又C1M平面ADE，C1M平面ADE.(2)由D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，F，得(1,0,0)，设平面A1D1F的法向量为n(x，y，z)，则令y2，则n(0,2,1)mn(0，1,2)(0,2,1)0220，mn.平面ADE平面A1D1F.母题探究：1.(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量解如本例解析题，D1(0,0,1)，E，所以，即直线D1E的一个方向向量设平面EFM的法向
9、量为n(x，y，z)，因为F，所以，(0，1,0)，由即所以令x1，则z2.所以平面EFM的一个法向量为(1,0,2)2(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变试证：EN平面B1AC.证明如本例解析图，E，N，A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，(0,1,1)，(1,1,0)，0，0，即ENAB1，ENAC.又AB1ACA，EN平面B1AC.规律方法利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.三垂线定理及逆定理的应用如图3213所示，三棱锥PAB
10、C中，PA平面ABC，若O，Q分别是ABC和PBC的垂心，求证：OQ平面PBC. 【导学号：33242288】图3213证明如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.PA平面ABC，AEBC(由于O是ABC的垂心)，PEBC(三垂线定理的逆定理)，点Q在PE上BC平面PAEBCOQ. 连接BO并延长交AC于点F，则BFAC.连接BQ并延长交PC于点M，则BMPC.连接MF.PA平面ABC，BFAC，BFPC(三垂线定理)PC平面BMFPCOQ. 由，知OQ平面PBC.规律方法利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理.跟
11、踪训练2如图3214所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1中点，求证：AB1A1M.图3214证明连接AC1，RtACC1RtMC1A1，AC1CMA1C1，A1MC1AC1CA1MC1MA1C190，A1MAC1.ABCA1B1C1为直三棱柱，B1C1CC1.又B1C1A1C1，A1C1 CC1C1，B1C1平面AC1，由三垂线定理知，AB1A1M.当 堂 达 标固 双 基1直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为()A2 BC. DD线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故121
12、(x2x)1(x)0，解得x.2若直线l平面，直线l的方向向量为s、平面的法向量为n，则下列结论正确的是()【导学号：33242289】As(1,0,2)，n(1,0，1)Bs(1,0,1)，n(1,2，1)Cs(1,1,1)，n(1,2，1)Ds(1,1,1)，n(2,2,2)C直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，经检验只有选项C中sn0，故选C.3设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()A3 B4 C5 D6C，则uv262(4)4t0，t5.4已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，
13、则不重合的两个平面与的位置关系是_平行(0,1，1)，(1,0，1)，所以n0，n0，所以n，n，故n也是的一个法向量又因为与不重合，所以.5在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD. 【导学号：33242290】证明建立如图所示的空间直角坐标系D是坐标原点，设DCa.(1)连接AC交BD于G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以.又(a,0，a)，所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，(a，a，a)，所以00，所以，即PBDE.又已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.第 9 页
